2020-2021学年广西壮族自治区柳州市铁第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析.docx

2020-2021学年广西壮族自治区柳州市铁第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，与函数 有相同定义域的是（     ）A .     B．      C．        D．参考答案：A2. 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数， 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（  　　）A.         B.          C.           D.参考答案：D略3. 为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A．i=i+1   B．i=i+2     C．i=i+3   D．i=i+4参考答案：B由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 4. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B?sin C=sin2A，则△ABC的形状是（　　）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B?sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B?sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 已知平面上有3个点，，，在处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在点的概率为（   ）A． B． C． D． 参考答案：D6. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧（左）视图可以为参考答案：D略7. 若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于(　　)A．M∪N　　　　　　　　 B．M∩NC．(?UM)∪(?UN)  D．(?UM)∩(?UN)参考答案：D8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（A）（B）（C）（D）参考答案：B由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.9. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，D为BC中点，则的值为A．        B．         C．           D．参考答案：B【分析】由题意得到，进而由线性运算及数量积运算得到结果.【详解】∵是边长为1的等边三角形，为中点，∴而故选：B 10. 对任意非零实数、,若的运算原理如图所示，则的值为（     ）A.     B.       C.      D.参考答案：B【知识点】程序框图解析：模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a?b=的值，∵log24=2＜（）﹣1=3．∴log24?（）﹣1==1．故选：B．【思路点拨】模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a?b=的值，由已知比较两数的大小，从而即可得解．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知变量满足条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是         .参考答案：12. 已知P为△ABC内一点，且，若，则点P到△ABC三边的距离的最大值为　　．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据三角形的有关计算可得OA=2，OB=4，OC=3，如图以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设P（x，y），根据向量的坐标运算即可求出P的坐标，结合图象可得最值得问值，根据点到直线的距离公式计算即可【解答】解：在△ABC中过点C作OD⊥AB交AB于点O，则AC2﹣OA2=BC2﹣OB2，即OB2﹣OA2=（OB﹣OA）（OB+OA）=12，又OA+OB=6，解得OA=2，OB=4，所以OC=3，如图以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，所以A=（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），设P（x，y），∵，∴3（﹣）=﹣+2（﹣），∴=（3++2）=（﹣2，6）=（﹣，1），即P点的坐标为（﹣，1），易知P到△ABC中BC边的距离最大，又直线BC的方程为3x+4y﹣12=0，∴点P到△ABC三边的距离的最大值为=，故答案为：13. 设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为________.参考答案：略14. 对于任意实数a（a≠0）和b，不等式||＋|||a|(||＋||)恒成立，则实数x的取值范围            参考答案：15. 在(1-)(1+)10的展开式中，5的系数为              .（用数字作答）参考答案：207  16. 在中，角所对的边分别为且，，若,则的取值范围是         _____________.参考答案：略17. 执行右边的程序框图，则输出的T的值是        。

 参考答案：81三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 一生物科研小组对升高温度的多少与某种细菌种群存活数量之间的关系进行分析研究，他们制作5 份相同的样本并编号1、2、3、4、5，分别记录它们同在下升高不同的温度后的种群存活数量， 得到如下资料：样本编号12345升高温度x(℃)910111213种群数量y(个)1519243136 （1）若随机选取2份样本的数据来研究，求其编号不相邻的概率；（2）求出关于的线性回归方程；（3）利用（2）中所求出的回归方程预测温度升高15时此种样本中种菌群存活数量.附：，参考答案：（1）总的选取结果为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10中，其中满足编号不相邻的有（1,3），（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,5）共6种，则概率为（2）由数据求得，，则，所以y关于x的线性回归方程为（3）利用直线方程，可预测温度升高15℃时此种样本中细菌种群存活数量为19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F(－c，0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q段AE上，，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.参考答案：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.所以，椭圆的方程为.20. 已知函数.（I）若曲线与曲线在交点处有共同的切线，求的值；（II）若对任意，都有恒成立，求的取值范围； 参考答案：（I）（II）a≤-1（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），f′(x)= ，g′（x）=．设曲线y=f（x）与曲线g（x）= 交点（x0，y0），由于在交点处有共同的切线，∴=，解得x0=4a2，a＞0．由f（x0）=g（x0）可得alnx0=．联立，解得a=．（II）对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，化为a（x-lnx）≤x2-2x．（*）．令h（x）=x-lnx，h′(x)=1-= ，∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，∴函数h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）=1．∴（*）可化为a≤，x∈[1，e]．令F（x）=．F′（x）=．∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，2（1-lnx）＞0，∴当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，∴函数F（x）在x∈[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）==-1，∴a≤-1．略21. 已知函数f（x）=|a2x2﹣1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．（1）当a＜0时，若函数y=f（x）﹣c恰有x1，x2，x3，x4这4个零点，求x1+x2+x3+x4的值；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．参考答案：【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）函数y=f（x）﹣c的零点可转化为函数f（x）=|a2x2﹣1|+ax的图象与直线y=c的交点问题，运用绝对值意义和二次函数图象及二次方程韦达定理，即可得到所求值；（2）运用分段函数表示f（x），结合图象分析函数的单调性，即可得到f（x）在[﹣1，1]的最大值．【解答】解：（1）函数y=f（x）﹣c的零点可转化为函数f（x）=|a2x2﹣1|+ax的图象与直线y=c的交点问题．当a2x2≥1即|x|≥﹣时，f（x）=a2x2+ax﹣1=（ax+）2﹣；当a2x2＜1即|x|＜﹣时，f（x）=﹣a2x2+ax+1=﹣（ax﹣）2+．显然当1＜c＜时，y=f（x）﹣c有4个零点，依次设为x1，x2，x3，x4，则x1，x4是方程a2x2+ax﹣1=c的2个根，从而，由x2，x3是方程﹣a2x2+ax+1=c的2个根，知x2+x3=，从而x1+x2+x3+x4=0．（2）f（x）=，结合图形分析可得f（x）在，上单调递减，在上单调递减，此时M（a）=f（）=．当，即a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，]，[，﹣]上单调递减，f（x）在上单调递增，此时M（a）=max{f（﹣1），f（），f（1）}=max{a2﹣a﹣1，，a2+a﹣1}=max{a2﹣a﹣1， }=，综上述，M（a）=．22. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列，满足：成等比数列.（1）求数列的通项公式及其前n项和。

2）令，求数列的前项和参考答案：（1）设。