【暑假讲义】北师大版暑期八年级升九年级数学讲义学案-第1讲-菱形、矩形的性质与判定.doc

主 题菱形、矩形的性质与判定教学内容1．经历特殊四边形性质的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验和体验，进一步培养合情推理能力，增强简单逻辑推理能力，和掌握说理的基本方法.2．掌握平行四边形、菱形、矩形概念，了解它们之间的关系.3.探索并掌握平行四边形、菱形、矩形的有关性质和常用的判别方法.问题引入：1、我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结： [师生共析](学生总结，教师补充) 已加一个四边形是平行四边形，则有： 对边平行 对边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分从 两组对边分别平行边 两组对边分别相等 的四边边形是看 一组对边平行且相等 平行四边形 从角看：两组对角分别相等 从对角线看：对角线互相平分2、了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形? 特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形．3、还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：（此部分60分钟左右；是本节课的重点.请做到讲练结合，尽量做到每一个知识点都附有相应的练习题；最多不超过3个知识点必须附有相关知识点练习）【知识梳理】1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等； ② 角的性质：邻角互补，对角相等； ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑤ 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．3.菱形的判定 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形．4.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．5．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等； ② 角的性质：四个角都是直角； ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等； ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑤ 常用的相关性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．6．矩形的判定 ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形； ③ 有三个角是直角的四边形是矩形．【典型例题】知识点一：菱形的性质与判定题型一：菱形的性质例1 ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ． ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ．例2 ⑴如下左图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则 度． EFDBCA⑵如上右图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，菱形 的边长是 ．例3如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分．例4如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．例5菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为 ．例6 如图，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ） A． B． C． D． 例7已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是 ．例8如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积．例9已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．答案：例1 ⑴ 8 ⑵ 180°例2 ⑴ 120 ⑵ 4例3证明：连接BD，AF，BE在菱形ABCD中，AC⊥BD∵EF⊥AC∴EF∥BD，又ED∥FB∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF∵E为AD的中点∴AE=ED，∴AE=BF又AE∥BF∴四边形AEBF为平行四边形即AB与EF互相平分例4：3例5: 5cm例6: D 例7:150°例8解：连接对角线 因为是菱形，且所以边长＝5m 令对角线的交点为O则∠ABO＝30度所以则面积＝例9解：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠ABC=∠ADC ∵ AE=AF=EF=AB 即AB=AE，AD=AF ∴ ∠ABC=∠AEB，∠ADC=∠AFD ∠ABC=∠AEB=∠ADC=∠AFD ∵AB=AD ∴△ABE≌△ADF ∴∠BAE=∠DAF ∠ABE=（180度-∠BAE）/2 ∵∠ABE+∠BAD=180度 ∴∠ABE+∠BAD=（180度-∠BAE）/2+∠BAE+FAD+60度=（180度-∠BAE）/2+2∠BAE+60度=180度 ∴90度-2/3∠BAE=120度，∠BAE=20度 ∴∠C=∠BAD=2∠BAE+60度=20度*2+60度=100度答：角C的度数为100度.题型二：菱形的判定例1如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．例2如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形例3如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分.例4如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．例5如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．例6如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．答案：例1:AB=BC等例2证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB．又∵∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．例3证明： 连接BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，BD⊥AC ∵EF⊥AC ∴EF‖BD ∵DE‖BF ∴四边形FBDE是平行四边形 ∴BF=DE ∵AE=DE ∴AE=BF ∴四边形AFBE是平行四边形 ∴AB、EF互相平分 .例4解：当时，四边形是菱形∵，∴四边形是平行四边形∵中，∴∴∵∴∴∴四边形是菱形.例5证明：连接AM∵ME⊥AC，DF⊥AC∴ME∥DF∵MD⊥AB，EG⊥AB∴MD∥EG∴四边形MDPE是平行四边形∵AB=AC，M是BC的中点∴AM是角平分线∴MD=ME∴四边形MDPE为菱形例6解：∵CH⊥AB，DE⊥AB∴DE‖CH∴∠ADE=∠CFD∵AD是角平分线，BC⊥AC，DE⊥AB∴CD=DE，∠ADC=∠ADE（等角的余角相等）∴∠CFD=∠CDF∴CF=CD∵DF=DF∴△FCD≌△FED∴CF=EF∴CF=EF=DE=CD∴四边形CDEF是菱形知识点二：矩形的性质与判定题型一：矩形的性质例1如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明.即 .(写出一条线段即可)例2如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则 ．例3如图所示，在长方形中，点是边的中点，点是边的中点，与交于点．若，求的度数． 例4如图，在矩形中，点分别在边上，，若且，则阴影部分的面积为 ． 例5如图，矩形中，对角线、交于，于，，则_______．例6如图在矩形中，已知，，是边上任意一点，、分别是垂足，求的值．例7矩形中，将矩形沿对折，使点与重合，如图，求折痕的长．例8如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知，且，求的长．答案：例1：AB或BE例2：15度例3解：连接BN∵四边形ABCD为矩形 ，∴AD∥BC,∴ ∠MCB=∠CMD∵ N为CD中点，∴DN=CN,又∵AD=BC,∠AND=∠BCN=90°∴△ADN≌△BCN,∴∠NBC=∠NAD∵∠MCB=∠CMD=∠NAD+∠MPA又∵∠MCB=∠NBC+33°＝∠NAD+33°∴∠MPA＝33° 例4：24cm2例5：45°例6解：连接OP∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，在△BAD中∠BAD=90°，AD=12，AB=5，由勾股定理得：AC=BD=√(5^2+12^2)=13∴OA=OD=，∵矩形的面积是12×5=60，∴△AOD的面积是×60=15，∵△APO、△POD是同底的三角形，S△AOD=S△APO+S△DPO=OA•PF+OD•PE，15=××PF+××PE，∴PE+PF=．例7解：连接AE∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC∴AE=CE，AG=CG，∠EGC=90°又∵四边形ABCD为矩形∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4设CE=x，则AE=x，BE=4-x由勾股定理得AC2=BC2+AB2=52∴AC=5，OC= 1/2AC= 5/2∵AB2+BE2=AE2∴32+（4-x）=x2∴x= 25/8∵∠FGC=90°，∴GE2=EC2-GC2=（ 25/8）2-（ 5/2）2=（ 15/8）2∴OE= 15/8同理OF= 15/8．即EF=OE+OF= 15/4．例8解：因为 BE：ED=1：3 且 BO=DO即比为2：2所以 BE=EO由AE⊥BD可知，角AEB=角AEO=90度又AE=EA所以三角形AEB全等于三角形AEO则AO=AB在矩形ABCD中，AO=BO故AO=BO=AB即三角形ABO是正三角形那么角OAF=30度因为OF⊥AD且OF=3cm所以AO=2OF=6于是可得AC=2AO=12 所以BD=AC=12题型二：矩形的判定例1如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．例2在矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件 。