从生物纳米膜管到超级碳纳米管卷曲的物质空间与对称的微分几何.doc

从生物纳米膜管到超级碳纳米管——卷曲的物质空间与对称的微分几何殷雅俊北京 清华大学航天航空学院工程力学系邮编：100084 电子邮箱：yinyj@：010-62795536摘要 生物膜之类的软物质，通过动力学自组装过程达到平衡态时均具有卷曲的几何结构描述这种卷曲结构的平衡微分方程，受控于第一类梯度算子和第二类梯度算子两类梯度算子具有对称的微分性质，遵循对称的积分定理这种几何体系的对称性，反过来又决定了某些卷曲的软物质结构（如生物纳米膜管网络和超级碳纳米管）的对称性关键字：生物膜，生物纳米膜管，超级碳纳米管，第二类梯度算子，积分定理1、引言 开口生物膜在几何上可视为具有边界的空间曲面（图1）其一般平衡微分方程和边界条件为[1]： 或 (1) (2) (3)其中： ， (5) ， (6) (7) , , , (8) ， (9)是生物膜曲面上的自由能密度，、和分别是曲面的平均曲率、Gauss曲率和质量面密度，是曲面的Gauss参数坐标，是生物膜的表面能密度，是生物膜开口边界线上的线张力。

是协变基矢量，是第一基本张量的逆变分量，是第二基本张量的协变分量和是两个行列式是张量的协变分量可以称为第二基本张量的共轭张量和是主曲率，和分别是曲线的法曲率和测地扭率是曲面的单位法矢量，是沿曲线的正方向的单位切线矢量，是与曲面相切、且与曲线正交的单位矢量（图1）和分别是曲面上经典的梯度算子和Laplace-Beltrami算子[1-4]和[5]分别是新的梯度算子和新的标量微分算子 从式（1）和（5）可以看出，生物膜的平衡主要受到两个梯度算子的控制：经典的梯度算子和新的梯度算子主要通过第一基本张量定义，故称为第一类梯度算子；主要通过第二基本张量的共轭张量定义，故称为第二类梯度算子与第一类梯度算子不同，第二类梯度算子强烈地取决于空间的弯曲程度尽管有很大的差异性，和又具有奇特的相似性——对称的微分性质，对称的积分性质，对称的守恒定理这些对称性，不仅精确地描述了卷曲的几何空间的性质，而且刻画了卷曲的软物质空间的本质更有趣的是，几何体系上的对称性，还构成了生物纳米膜管网络和超级碳纳米管等物质空间形式中对称性的源泉2、对称的微分性质 对于曲面上的矢径和单位法矢量，两类梯度算子分别有以下对称的微分性质[6]： ， ， （10） ， ， ， （11） ， 对第一基本张量，两类梯度算子有以下对称的微分性质[6]： ， （12）对于定义在光滑、可微曲面上的张量场，可以证明第一类梯度与第二类梯度、第一类散度与第二类散度、第一类旋度与第二类旋度之间，存在如下对称的微分性质[6]： ， (13) ， (14) ， (15)式（13）~（15）中，引入单位法矢量之后，有对称的矢量积表达式[7]： ， (16) ， (17) ， (18)上述对称的微分性质，为导出下面对称的积分定理奠定了基础。

3、对称的积分性质 由式（13）~（15），可得一系列对称的积分定理[6, 7]： ， (19)， (20) ， (21)其中，、和分别是矢量线元和矢量面元式（19）对应第一类梯度定理和第二类梯度定理；式（20）对应第一类散度定理和第二类散度定理；式（21）对应第一类旋度定理和第二类旋度定理 由式（16）~（18），可导出对称的第一类广义环量定理和第二类广义环量定理[6, 7]： ， (22) ， (23) ， (24)实际上，式（23）可以等价地写成： ， (25)如果将式（25）中的张量场替换成速度矢量场，则得到第一类环量定理（几何中的经典结果）和第二类环量定理[3, 4]： ， (26)注意到，第一类环量与机翼的升力密切相关，第一类环量定理在流体力学的绕流问题中有重要应用至于第二类环量及第二类环量定理的用途，目前尚不得而知 类似地，我们可以将式（20）写成矢量形式[3, 4]：， (27)式（27）对应矢量场的第一类散度定理（几何中已有的定理）和第二类散度定理分别取和（和是标量场），可以证明关系式成立，并注意到关系式，于是得到对称的第一类Green定理（几何中已知的结果）和第二类Green定理[3, 4]： （28）式（28）在生物膜的平衡理论[1, 2]、稳定性理论[8]和几何约束理论[1, 9]中，有广泛的用途。

需要说明的是，上述积分定理虽然具有对称的解析结构，但它们所适用的空间形式是有差别的：第一类积分定理不仅在二维的Riemann曲面上成立，而且在二维的Euclidean平面上也成立；但第二类积分定理则只在二维的Riemann曲面上成立，空间卷曲得越厉害，第二类积分定理就越占据主导 4、对称的守恒定理 上述的对称积分定理系统均与外场有关但从对称的积分定理系统出发，可以导出与外场无关的、反映卷曲空间本征特性的守恒定理式（20）中，令，有[6, 7]： , (29)在封闭的光滑曲面上，线积分项消失，式（29）退化为： ， (30)式（30）正是著名的Minkowski积分定理经典微分几何以冗长的推导过程证明了该定理，而此处Minkowski积分定理仅仅是对称积分定理体系的简单推论 式（20）中，令，有[4, 6, 7]： ， (31)其中，式（31）的左式是微分几何中已有的结论，在力学上，它精确地刻画了卷曲的薄膜（如张在钢丝圈上的肥皂膜）在均匀分布压力作用下的整体平衡31）的右式是关于Gauss曲率的矢量型积分定理，它表明，Gauss曲率在曲面上的矢量积分取决于边界线的弯曲程度。

如果曲面是光滑封闭的，线积分项消失，式（31）退化为[4, 6, 7]： ， (32)式（31）和（32）在生物纳米膜管网络和Y型碳纳米管中有重要用途 如果封闭曲面并不是光滑的，而是存在如图2所示的尖锐奇点，则式（31）退化为[10]： ， (33)这里是尖锐奇点的个数，是第个奇点尖端的单位切线矢量式（33）的右式深刻地刻画了含奇点的卷曲空间的本征特性：Gauss曲率在封闭曲面上的矢量型积分，仅与曲面上尖锐奇点的个数和奇点的方向有关该式还具有深刻的内涵：等式左端的积分项反映了曲面的分析性质；而等式右端的代数项则反映了曲面的微分拓扑性质因此可以说，该式在分析和拓扑之间架起了桥梁从应用的角度看，该式在生物力学中有潜在的用途：卷曲的生物结构上的毛发、纤突和纤维丛都可以理想化成几何曲面上的奇点，图3所示的细胞膜表面上的纳米膜管纤维丛也可以处理成曲面上的奇点5、对称的积分定理与生物膜的几何约束理论 式（28）是生物膜几何约束理论的几何学基础将式（1）两端沿生物膜曲面积分[1]： （34）由式（28）可知： (35) (36)式（34）、（35）、（36）与式（2）、（3）结合可给出[1]： (37)对处于平衡态的生物模，式（37）经过运算将给出一个包含生物膜的物理特征参数和几何特征参数的代数方程。

因此我们说，式（37）深刻地揭示了卷曲的生物膜与空间几何形式之间的制约关系：生物膜的物理特征参数与几何特征参数之间并不是互相独立的，而是存在密切的内在联系这种内在的制约关系在软物质结构中可能具有普遍性因此，研究卷曲的软物质结构，应注意物质、空间与几何的有机结合，不能脱离了空间与几何来谈软物质分布，也不能脱离了软物质分布来谈空间与几何5、对称的积分定理与对称的生物纳米膜管网络 生物纳米膜管网络既可以是天然的连接细胞的纳米管网络[11]，也可以是通过生物纳米微加工技术人工制造的、连接磷脂分子双层膜泡的纳米网络（图4）[12, 13]通过动力学自组装达到平衡态时，这种结构往往演化成生物纳米膜管三线结网络（图5）奇特的是，网络中的每个三线结都具有夹角的对称性我们追踪了对称性的来源，发现有两个可能的“源泉”：一是稳定平衡的生物纳米膜管网络在物理和力学上必然是最低能量态，在初等几何上必然等价于一颗Steiner最小树（由具有夹角的对称三线结连接而成的最短的树状网络）；二是上述对称的积分定理系统在微分几何上决定了生物纳米膜管三线结及其网络必然具有夹角的对称性[10]这里主要介绍后者 考虑一个稳定平衡的三线结连接三个膜泡的简单情形（图6）。

如果将膜泡和膜管网络在整体上视为一个光滑的封闭曲面，则式（32）在该曲面上成立为计算方便，我们假想在结点处沿管的横截面切开，然后通过计算平均曲率和Gauss曲率在三个截开曲面上的积分来得到其在整个封闭曲面上的积分[10]： ， (38)由式（32）中对称的积分定理可得： ， (39)式（39）可以理解为三个汇交力的平衡，其成立的充分必要条件为： ， (40)此处是第根膜管的半径，是两两膜管间的夹角式（40）准确地描述了对称三线结的几何结构基于式（32）中对称的积分定理可以进一步证明：不论网络中三线结的个数有多少（图5），不论三线结在网络中处于什么位置（图7），式（40）都成立这个结论，与迄今为止发现的所有实验事实都精确吻合6、对称的积分定理与对称的Y型碳纳米管及超级碳纳米管 三线结状的结构，不仅存在于生物纳米膜管网络中，而且存在于碳纳米管网络中——Y型碳纳米管就是典型的三线结状结构实验证明：自发生长的Y型碳纳米管，具有夹角的对称性（图8）[14-17]模拟表明，自发的、具有能量最低态的Y型碳纳米管在结点区通过正七边形的过渡[18]，实现了Y型碳纳米管中三个碳纳米管的无缝对称连接（图9）。

我们借鉴了生物纳米膜管三线结中的研究思路，证明了如下结果[18]：自发生长的、稳定平衡的Y型碳纳米管，物理上处于能量最低态，几何上则等价于最短网络——Steiner最小树；而从对称积分定理体系中的式（31）出发，可以证明，此时的Y型碳纳米管必然满足对称性条件式（40）因此，对称的Y型碳纳米管与对称的生物纳米膜管三线结，尽管微观物质结构上差异极大，但在物理、力学和几何规律上却非常相似 这一研究结果导致了超级碳纳米管概念和工艺设想[19]Y型碳纳米管常用来制造纳米电路为了确保制造的可控制性，模版不可或缺我们注意到，模版生长的Y型碳纳米管有可控制性，但往往缺乏对称性；自发生长的Y型碳纳米管有对称性，但往往缺乏可控制性能否将二者结合起来制造出新的碳纳米结构？可能性是存在的，具体设想如下（图10）：在平面模版上刻蚀具有对称性的Y型纳米槽，通过该模版可以可控制地生成对称的Y型碳纳米管；将两个对称的Y型纳米槽背靠背连接，可得“弯工字型”的纳米槽；将大量“弯工字型”的纳米槽无缝连接，可得周期性的、具有正六边形拓扑的纳米槽网络在这样的纳米槽网络中生长碳纳米管，可得周期性的、具有正六边形拓扑的碳纳米管网络。

就像用石墨片构造碳纳米管一样，我们将这样的碳纳米管网络卷成。