球与多面体的切接关系课件.ppt

球与多面体的切接关系§1正方体与球动画显示动画显示一、正方体的内切球球与多面体的切接关系位置关系描述：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点正方体的中心即为球心相对两个面中心连线即为球的直径球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”o图形度量关系球的直径等于正方体棱长一、正方体的内切球球与多面体的切接关系例题1求棱长为2的正方体的内切球的表面积解：因球与正方体内切，所以，球的直径等于正方体棱长，即即时练习：一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） C球与多面体的切接关系动画显示动画显示二、球与正方体的棱相切球与多面体的切接关系位置关系描述：度量关系图形二、球与正方体的棱相切球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点正方体中心即为球心对棱”中点连线即为球的直径球的直径等于正方体一个面上的对角线长即时练习：在一个空的正方体框架内放置一球，若正方体棱长为a,则此球的最大体积是球与多面体的切接关系动画显示动画显示三、 正方体的外接球球与多面体的切接关系图形位置关系描述：度量关系三、 正方体的外接球正方体的8个顶点在同一个球面上正方体的中心即为球心。

球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”正方体的（体）对角线等于球直径球与多面体的切接关系____________课堂练习正方体的内切球与外接球半径的比是B正方体的全面积是 ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是若球面内接正方体对角面面积为 ，设球面内接正方体的棱长为a，则对角面面积为解：例题2求球的表面积球与多面体的切接关系§2长方体与球一、长方体的外接球位置关系描述：长方体的8个顶点在同一个球面上长方体的中心（对角线的交点）即为球心球叫做“长方体的外接球”，长方体叫做“球的内接长方体”度量关系长方体的（体）对角线等于球直径图形球与多面体的切接关系长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，那么，这个球的表面积是 ( )C思考：一般的长方体有内切球吗？没有一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体课堂练习例如，装乒乓球的盒子球与多面体的切接关系如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ ）将半球补成整球由长方体内接于球知：所以，选B分析1B例题3则两个同样的正方体对接构成的长方体就内接于这个球。

设正方体棱长为a，则所得长方体对角线长为球与多面体的切接关系球与多面体的切接关系如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为变式练习求半球的表面积和体积．答案：半球的表面积为27π，半球的体积为18π. 分析2OABOAB设球心为O，则O亦为底面正方形的中心如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.设正方体棱长为a，易知：球与多面体的切接关系例题4在半径为R的球面上任取一点，过该点作两两互相垂直的三条弦，求证：这三条弦的平方和为定值POABCDO1证明设过球O上一点P，作三条互相垂直的弦PA、PB、PC，如图所示设PB、PC所在的平面与球O相交于小圆⊙O1，因为PB与PC垂直，所以，BC为小圆 ⊙O1直径连结PO1并延长交⊙O1于D，连结OO1.则OO1⊥平面⊙O1易知PA⊥平面⊙O1，在小圆⊙O1中，在大圆⊙O中，所以，OO1∥PA，所以球心O在A、P、D三点所确定的圆面内，即过A、P、D的圆面是球的大圆又PA⊥PD，∴AD为该大圆的直径（即O为AD的中点）球与多面体的切接关系点P在直径为 的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（ ） 巩固练习巩固练习设三条弦长分别为a、b、c，且c=2b,则： D球与多面体的切接关系 §3 球与棱锥切接问题举例 （（1）） 球与正四面体球与正四面体正四面体P---ABC的棱长为a，求它的外接球半径R和内切球半径r分析：和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球设其外接球的球心为O，则O到四个顶点的距离都相等即R。

那么，点O在什么地方呢？由于P---ABC为正四面体，所以，点P在底面ABC上的射影H即为正ΔABC的中心，而点H到顶点A、B、C的距离都相等解：OPABCDKH取BC中点D，连结AD、PD，在ΔPAD中，过P作PH⊥AD， 则PH⊥底面ΔABC∵D为BC中点，∴AD⊥BC,PD⊥BC,∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PH;又 PH⊥AD,∴ PH⊥底面ΔABC.在ΔPAD中，过A作AK⊥PD，则AK⊥平面ΔPBC那么，正四面体的两条高PH与AK的交点即为球心O当点H沿着线段PH向上移动至P时，仍然满足到三顶点A、B、C的距离相等据此，可猜想球心O应在正四面体的高PH上；同理，球心O也在正四面体的其它顶点引发的高上设另一条高为AK，则PH与AK的交点即为球心O你知道理由吗？球与多面体的切接关系OPABCDKH连结HK，∴KH∥PA∴ ΔKHO∽ΔAPO显见，内切球的球心也是这个点O，即正四面体的外接球与内切球是同心球而且，OP=OA=R, OH=OK=r特别提醒：同学们只要记住如下关系式即可：球与多面体的切接关系OPABCDKH正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四面体的中心。

正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心如图，四边形OKDH为筝形即有：OK=OH,DK=DH,OD⊥KH.共底边的两个等腰三角形形成的平面凸四边形叫做筝形正四面体的外接球的球心把正四面体的一条高分成的两部分的比为 ( )B球与多面体的切接关系联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为 ，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长的一半，即有r＝ ，故所求球面积为．棱长为 的正四面体的所有顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ( )一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A、3π B、4π C、5π D、6πAB1CD1 题目：解1：要理解和掌握“正方体与正四面体“的这种图形上的关系，对于快速解题有很大帮助外接球的半径解2：A C巩固练习S＝3π球与多面体的切接关系（（2）） 球与正三棱锥球与正三棱锥OPABCDHMOHPABCDM正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部球心与底面正Δ中心H重合OPACDMHB度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，或在RtΔAHO中，球与多面体的切接关系OPABCDKH正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。

OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略PHDOK∟∟设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，∽∽球与多面体的切接关系正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）A解：设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°由RtΔ中的射影定理得：OPABCDMH法二由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上在RtΔAHO,有： 题目：球与多面体的切接关系 题目：正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( )解析：OPABCDKHPHDOK∟∟设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，∵三侧棱两两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形代入正三棱锥内切球半径公式：得：又 正三棱锥外接球半径 D球与多面体的切接关系已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足同理，PB⊥PC, PC⊥PA , 即PA、PB、PC两两互相垂直易知，该三棱锥三个侧面均为RtΔ，所以，其侧面积为解析：则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）A 题目：球与多面体的切接关系提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直正三棱锥对棱互相垂直，即SB⊥AC,又SB∥MN,且AM⊥MN,所以，SB⊥平面SAC。

故，SB⊥SA,SB⊥SC,进而，SA⊥SC.则三侧棱互相垂直以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径 设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆的面积为 （ ）在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）CSABCMN 题目：解析：C巩固练习球与多面体的切接关系从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）0PABCHPABCO 因PA与球O相切于点A，∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.∴RtΔPOA≌RtΔPOB≌RtΔPOC ∴PA=PB=PC又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA、ΔABC为全等的等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥解析：先想象一下图形，画出示意图由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AH⊥PH.在RtΔPAO中，有：B球与多面体的切接关系 §4 球与棱柱切接问题举例正三棱柱的外接球球心在上下底面中心连线的中点。

ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a正三棱柱的内切球如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长各面中心即为切点（共5个）底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r球与多面体的切接关系解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为. （2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 真题赏析真题赏析ABCE∟O΄OBACB1A1C1O΄BO΄ORr1球与多面体的切接关系（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径为2的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 　　．真题赏析真题赏析由球面距离公式：解析：设正ΔABC的外接圆半径为r∴球心O到平面ABC的距离为 8球与多面体的切接关系一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为 棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ） B八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.解析：O1O7O1O7MN设过对角线设过对角线O1O7的对角面与球的对角面与球O1、、O7分别交于分别交于M、、N，如图。

则所求为：，如图则所求为：作业：球与多面体的切接关系已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为Ｏ，满足 ,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿． OBADC如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，则AD两点间的球面距离 . 提示：由已知得：球心O为正三棱锥底面ΔABC的中心如图，则有ΔPAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点设底面正Δ边长为a，侧棱长为b，则提示：∴ΔAOD为等边三角形.球与多面体的切接关系半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．解：①∵球面距离②∵OA=OB=OC=1 ③ 设球的内接正方体棱长为a，则OBACAOBACOBCOCBA球与多面体的切接关系A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。

求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．解：①∵球面距离②∵OA=OB=OC=1 ③ 设球的内接正方体棱长为a，则法二：易知AO垂直于平面BOC有人抄错题了，把 和 交换了一下，那么，答案还一样吗？ACOABOBOCABC球与多面体的切接关系则三棱柱的体积为 （ ） 在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线, 该直线被球面截在球内的线段长为 ( )一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为DCAOH球与多面体的切接关系三棱锥P—ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，球心在三棱锥内，底面ABC所在的小圆面积为16 ，则该三棱锥的高的最大值为 8 .底面ABC所在小圆半径为OHPCBA球与多面体的切接关系球与多面体的切接关系。