等差数列与高阶等差数列.pdf

宁教 20 0 年第 期 新课很讲坛 等差数列与高阶等差数列 仪旧27 北京东直门外胡家园小区1 1 一4 1 2 明知白 1 什么是商阶等差数列 请看数列 6 12 20 30 42 56 它的构成有什么规律呢 不难发现 每相邻两 项的差 后项减前项 是 6 8 1 0 1 2 1 4 它是一个等差数列 再求它的差数列 后项减 前项 得 2 2 2 2 是一个常数列 于是我们称 为二阶等差数 列 称 为 的一阶差数列 为 的二阶数列 再看数列 l 2 4 10 23 46 52 它的一阶差数列是 l 2 6 13 23 36 二 它的二阶差数列是 l 4 7 10 13 它的三阶差数列是 3 3 3 3 这是一个常数列 于是称数列 是三阶等差数列 一般地 有如下的定义 如果一个数列的第 E N 阶差数列是一个非 零的常数列 那么这个数列就叫做 阶等差数列 显然 中学课本中所讲的非常数的等差数列是一 阶等差数列 而常数列可以看作是零阶等差数列 为什么要 研究高阶等差数列呢 这 是从求数 列的通项公式引发出来的 例 1 求数列 6 12 20 30 42 56 的一个通项公式 解 设数列 为 a 考虑它 的一阶差数列 6 8 1 0 12 1 4 它是一个等差数列 记作lb 则其通项 b 6 n一 l x Z 二Zn 4 于是有 aZ一a 二 b 二 6 a3一 aZ二 6 2 二 8 a4一 a3二 6 3二 1 0 a 一a 一二 b 二Zn 2 将以上 n一 l 个式子相加 即等号两边分别相 加 得 a 一a 6 8 1 0 2 n l 6 2 n l n一 l 2 二 n 4 n一 l a一 6 a 二 n 4 n一 l 6 二nZ 3n 2 二 n l n 2 问题获解 上面这个求数列通项 的方法 叫做逐 差法 它 是利用一个数列的差数列 这个差数列恰好是一个 等差数列 的有限和 求出原数列的通项公式的 某些数列的构成规律不十分明显 我们可以逐 次求出它的各阶差数列 如果某一阶差数列正好是 等差数列或等比数列 那么可以利用这些数列的有 限和 得出原数列的一个通项公式 由于 是逐次倒 推求差 所以称 为逐差法 通常我们把用逐差法求 得的通项 a 与 n 之间的解析式 叫做原数列的通项 公式 例2把正的奇数列 按 表 l 排列 l 试求20 0 7 位于表中 的第几行第几列 2 求表 1 中主对角线 的数列 l 5 13 25 41 口口口回回图图回回回回曰曰 不不不万万 甲甲 V V V 丁 l l l l l l lI I I2l l l l l l l 下下下 一1夕 夕不 不卒卒 3 3 3 卜卜一乡乡一下下日5 5 5 同同同 0 口口口 0 口口 表l 新裸很讲坛 1 滋 2 X 7年第7期 的通项 a 与前 n 项和民 解 l 把表中数列写成 l 3 5 7 9 11 13 15 17 其中第 n 项 组 含有Z n一 1个数 它的末项为 2 l 3 5 Zn 一 l 一 l 二 Z n 一 1 设20 0 7 位于 中的第 n 组之中 则20 0 7鉴2矿 一 1 它的最小整数解为 n二 犯 即20 07位于 中的 第犯 组之中 这一组的末项为 2 x 32 2一 l 二 20 47 而 2 X 7 一 2 X 7 于2 l 二21 因此20 0 7 位于 中的第3 2组中的倒数第2 1 个数 依表中各数的排列规则 20 07 位于第3 2行第 21列 2 考查数列 的差数列 4 8 1 2 16 是一个等差数列 因 此数列 是一个二阶等差数 列 事实上 由奇数列在表中的排列规则可以直接 判断 是二阶等差数列 设数列 为 a 则 分析考虑数列的各阶差数列 原数列 5 6 9 16 31 62 一阶差数列 1 3 7 1 5 3 1 二阶差数列 2 4 8 1 6 由于二阶差数列是等比数列 可用逐差法求原 数列的通项公式 解设原数列为 a 一阶差数列为 b 二 阶差数列为I c 那么 b Z一 b 一二 el b3 一 b Z二eZ b 一 b3 二 e3 b 一 b 一二 e 一 以上 n一 l 个式子相加 得 b 一 6 二e一 eZ e3 c一 2 4 8 2 一l 2 2 一 一 l 2 一 l 气 一a l二 5 一 1 二4 a3一aZ二 13 一 5 8 a 一 a3二 25 一 13二12 a 一 a 一 二 4 n一 l 以上 n一 l 个式子相加 得 a 一a 4 8 1 2 4 n一 l 二 2n 2一 Zn a一二 l a 二 Zn 一 2 l 2 当 n二 1 时上式成立 故 a 的通项为 a 二 Z n 一 2 1 S 二 么 Zk 一 2 二 2么 一 2溶 R n 二 2 一2 n 2 b l b 二2一 1 b 也符合上式 故6 二 2 一 l n l aZ一a 二 b a3一aZ二 bZ a4一 a3二 b 3 丫 而又 a 一 a 二 b 一l a 一a b 一 b Z b3 b 一 一l 二 艺 m 二l 2 一 l 一 n一 l 办 乙 曰 艺 祠 曰艺 润 二2 一 2 一 n一 l 二2 一n一 1 二2 李 6 n n l Zn 1 一n n l n al二 5 a Z n 一n一 l 5 2一 n 4 数列l a 的关 n 项和 二 了 n 一 了n 例3求数列 5 6 9 1 6 31 62 的通项 a 函与前 n 项和凡 给出数列的前若干项 数列的通项并不唯一本 文中的 求 a 是指 求一个 a 或特指差数列为 等差 t 数列 1 欲 呀 2 X 7年第7 期 新裸粗讲坛 3 2 S 二 艺 2 加二 一 m 4 二 工2 用二I 一 再 m 4 n 2 2 一 l 2 一 l n n l 一 一了一 4n 二2 十 n n一 7 2 一2 2 商阶等整数列的通项公式与求和公式 利用逐差法可以求高阶等差数列的通项公式 为使各阶差数列有明确的 有规律的表示 规定一 个新的符号 点 r 它表示原数列的第 r 阶差数列的 第 n 项 这样 a 及其各阶差数列是 a 3 4 a a a 原数列 一阶差数列 二阶差数列 三阶差数列 r r r 阶差数列 尸 l r r l阶差数列 其 中 a aZ a3 a4 也 可写成 卿 尹 尸 根据 阶差 的意义 上述各元素之间有下述关 系 aZ一a 一 即 aZ二a a 一 aZ二 即 a 二 aZ a 一 a 一 二 甘 即 a 二a 少 二 又 一 二 护 即 一般地 有 r 一 份 二 岁 即 r 二 份 1 认 n 二2 3 ro N 二 a 二a 2 a4 a 二a 二 a 2 a 二 3 3 as二a4 二 a 二a4 a4 2 a 2 二 a 3 3 3 3 a 4 6 4 如图l所示 下面我们来寻求 r 阶等差数 列的通项公式 由关系式 a 二a 少 n 二 2 3 4 观察上面各式的右边 有两个特点 原数列的 第 r 项 a r r二2 3 4 5 可由原数列的首项 a 与 数列的前 卜l 阶差数列的首项 2 3 r 表示 而这些项的系数恰好是二项 式 a b 一 展开式中的系数 于是 我们可以归纳 得出 a a C 一 C c C 一 r c 二 一 特别 当数列 a 为 阶等差数列时 r 二 一 0 这样 我们就得到了 r 阶等 差数列的通项公式 为简单起见 用d d Z d 分 别代替 3 把上 面得到的结论写 成定理 定理1 数列 a 为 r 阶等差数列 它的各阶 差数列的首项为d d Z d 3 d r 那么数列 的通项 公式是 二 份 认 图 1 n二2 3 4 r N 有 口3 二 aZ a 二a C d C dZ C二 一 d r n 一l n一2 二 弋 一 一万丁一 a n 一 l n 一 2 n 一r 口r f 新课在讲坛 一滋呀 2 X 7年第7期 有了 阶等差数列的通项公式 再进一步寻求 它的前 n 项和公式 显然 数列 a 是下述数列 0 al a一 aZ a一 aZ a3 a一 aZ a 的一阶差数列 而这个新构造的数列的第 n 十 l 项恰好是原数列的前 n 项之和s n 由于l a 是 阶 等差数列 因此新构造的数列是 r l 阶等差数 列 而它的首项为0 各阶差数列的首项分别为 a d d Z d 由公式 它的第 n l 项S 是 S o e a c c 2 c Jr n一 l n一2 a 二 气 一 十 一 一一可一一a 二6 6 n一 l n一 l n一2 二nZ 3n 2 n n一 l n n一 l n一2 二 n a 一万一 a 一一可一一 2 二 6 一 奇 一 一2 二 合 2一 警 二 二 一 娜箭业 户左 卫二岁 粤 鱼 2 产写姗尸a r 这就是 r 阶等差数列前 n 项和公式 把它写成 定理 定理2 数列 a 为 r 阶等差数列 它的各阶 差数列的首项为d d Z d 3 d 那么数列的前 n 项 和公式是 s 二 c a C d C d Z c 己 r n n一 l n n一 l n一 2 二 n a l 十 一厄了一 十 一汀一一几 下面再举一个例子说明公式 和 的应用 例2求数列 l 2 5 16 41 86 的通项 a 与前 n 项 和氛 分析考察所给数列 l a 的各阶差数列 一阶差数列 l 3 11 25 45 d 二 l 二阶差数列 2 8 14 20 d 2 三阶差数列 6 6 6 d 二 6 数列 a 是三阶等差数列 可用公式 和 求 a 和S 解数列 a 是三阶等差数列 且 二 l d 二 1 d 二 2 d 3二 6 由公式 和 得 二 丛 卫丹华络 井二J Lr l a 二a n一 l d n一 l n 一 2 2 特别 r二 l 即数列 a 是一阶等差数列 就是 通常所说的等差数列 由公式 和 得 a 二 n一 l 以 匕里宁业鱼 J 3 1 一 1卜 业丝警 旦 2 n n一 l 气 n a 叫一厄一一 十 些匕业工二 丝处二丝 人 n3一 5n 2 g n一4 这正是中学课本中所讲的等差数列的通 项公 式与求和公式 大家都很熟悉 由此 可以帮助我们 在记忆公式 和 利用定理 l和定理2 可以直接求出高阶等差 数列的通项 a 与前 n 项和S 例1 求数列6 1 2 2 0 3 0 42 56 的通项a n 与前 项和s 解法2 公式法 在上一 节已经分析过 这是 一个二 阶等差数列 其首项为6 一阶与二阶差数 列 的首项分别是6与2 即 a 二 6 d l二 6 d Z二 2 由公式 和 得 s n a二 喂产 J一些玉 上瓮 互 卫二且 尸I卫二塑告 于 全 业鱼 3 二n n n一 l 2 n n一 l n一 2 3 n n一 l n 一 2 n一 3 4 下 面我们再回过头来认真分析公式 和 的 特点及相互 关系 并由此引出两个重要定理 公式 的右边是一个关于 n 的多项式 由于d 尹O 所以它 是 n 的 次多项式 公式 的右边 是关 1 滋 2 X 7年第7期 三蕊新展台 于 n 的 r 1 次多项式 且常数项为零 可以证明 它们的逆命题也是成立的 定理3 阶等差数列l a 的通项 a 一定是关 于正整数 n 的 r 次多项式 a 二 b n b 一 n r 一 占 n 吞 r 尹 反之 如果一个数列的通项满足 那么这个 数列一定是 r 阶等差数列 证明从略 定理4 r 阶等差数列 a 的前 n 项和S 一定 是关于正整数 n 的 十 l次多项式 s 二 b nr b nr b n 6 r十 尹0 反之 如果一个数列的前 几 项和s 满足 那 么这个数列一定是 r 阶等差数列 证明从略 值得注意的是 定理4中的S 是常数项为零 的 r 1次多项式 即s 二 0 这一点在等差数列 的求 和问题中已经学习过 即l a 为等差数列的充要条 件是它的前 n 项和形如 S 二a n b 6为常数 由定理。