初二数学_第四讲_等腰三角形和等边三角形_教师版.doc

唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究 初二提高班 第四讲 教师版基础知识第四讲 等腰三角形和等边三角形1、 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3、 等腰三角形的性质：（1） 两腰相等（2） 两底角相等（3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合4、 等腰三角形的判定：（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形（2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形5、 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°6、 等边三角形的判定：（1） 三条边都相等的三角形是等边三角形（2） 三个角都相等的三角形是等边三角形（3） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形7、 等腰直角三角形的性质：顶角等于90°，底角等于45°，两直角边相等等腰直角三角形的判定：（1） 顶角为90°的等腰三角形（2） 底角为45°的等腰三角形8、含30°角的直角三角形的重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半例题解析等腰三角形的性质应用及判定【例1】（扬州中考）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2) 选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形AEBCOD分析：（1）①③或②③（2）选择①③ 证明：∵∠EBO=∠DCO,BE=CD, ∠BOE=∠COD ∴△BOE≌△COD ∴∠BEO=∠CDO,EO=DO,BO=CO ∴CE=BD 又∵BE=CD ∴△BCE≌△CBD ∴∠ACB=∠ABC ∴△ABC是等腰三角形EABCDFEABCD【例2】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE为等腰三角形分析：延长BD到F，使得DF=BC,连接EF ∵△ABC为等边三角形 ∴∠B=60°，AB=BC 又∵AE=BD ∴BE=AB+AE=BC+BD=FD+BD=FB ∴△BEF为等边三角形 ∴∠B=∠F=60°，BE=FE ∴△BEC≌△FED ∴CE=DE【例3】（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（ ） ①DC平分∠BDE ②BC长为()a③△BCD是等腰三角形 ④△CED的周长等于BC的长ACBDBCEDBECA.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：由图可知△ABD≌△EBD ∴AD=DE=a, ∠DBE=45° 又∵∠C=∠ABC=45°，∴DC=a ∴BC=AC=(a+a)=( +2)a=△CED的周长 又∵△CDE≌△BDC，∴∠DCE=45° ∴∠DBE=∠BDC=22.5° ∴BC=CD,△BCD是等腰三角形，故②③④正确【例4】如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是 AMNDBCPQAMNDBC分析：如图，由已知可得BD,CD分别是∠ABC, ∠ACB的平分线 又∵∠MBD=30°=∠PCD,BD=CD ∠BDM=180°-（∠NDM+∠BDP）=120°-∠BDP=∠CDP ∴△BMD≌△CPD 同理得△CND≌△BQD,CN=BQ,ND=DQ 又∵∠MDN=∠PDQ ∴△DMN≌△DPQ,MN=PQ ∴AM+AB+MN=(AB-BM)+(AC-CN)+PQ=(AB+AC)-(CP+BQ)+PQ=1【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.20° B.120° C.20°或120° D.36°分析：当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:4:4，此时顶角为20°； 当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:1:4，此时顶角为120°，故选C【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为 分析：当腰长为9时，三边长为4,9,9 当腰长为4时，三边长为4,4,9,不符合三角形的三边关系，故腰长为9【例7】如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由分析：（1）分三种情况讨论：①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO. ∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°∴190°-α=α-60°∴α=125°②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°∴α-60°=50°∴α=110°③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD∴190°-α=50°∴α=140°综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△ABC是等腰三角形（2）证明：∵CO=CD, ∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形（3） 解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形 理由：∵△BOC≌△ADC, ∴∠ADC=∠BOC=150° 又∵△COD是等边三角形 ∴∠ODC=60° ∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形等边三角形的性质应用及判定【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC的度数。

分析：（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC 又∵AE=BD, ∴△AEC≌△BDA(SAS) ∴AD=CE（2）解由（1）△AEC≌△BDA,得∠ACE=∠BAD ∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF求证：BE=AF分析：∵△ACE和△BCF是等边三角形 ∴CF=CB,CE=CA, ∠BCF=∠ACE=60° ∴∠ACF=∠ECB ∴△BCE≌△ACF ∴BE=AF【例10】（天津中考）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACD≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 分析：∵△DAC和△EBC均是等边三角形 ∴AC=DC,CE=CB, ∠ACD=∠BCE ∴∠ACE=∠DCB ∴△ACE≌△DCB ∴∠CAE=∠CDB 又∵∠ACM=∠DCN=60°，AC=DC ∴△ACM≌△DCN ∴CM=CN.故①②正确【例11】（常州中考）如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且△DEF也是等边三角形。

除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的分析：图中还有相等的线段是：AE=BF=CD,AF=BD=CE. 事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°，DE=EF=FD 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120° ∴∠AEF=∠CDE 同理得∠CDE=∠BFD ∴△AEF≌△BFD≌△CDE ∴AE=BF=CD,AF=BD=CE【例12】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是 分析：由图可知，如果设最大的等边三角形的边长为x, 则可知第二大的等边三角形的边长为x-a， 第三大的等边三角形的边长为x-2a 第四大等边三角形也即最小的等边三角形的边长为x-3a 从图中可知最大等边三角形是最小等边三角形的边长的2倍 由此可知，x=2（x-3a），解得x=6a 由此可得六边形周长为6a+5a+5a+4a+4a+3a+3a=30a【例13】如图，点C段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于 。

分析：∵△ACN≌△MCB∴∠ANC=∠MBC又∵∠MBN=38° ∴∠MBC=22°从而∠ANC=22°∴∠ANB=∠ANC+∠CNB=82°【例14】（常州中考）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到△DEF为等边三角形，求证：（1）△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形分析：（1）∵BF=AC,AB=AE ∴FA=EC. ∵△DEF是等边三角形 ∴EF=DE 又∵AE=CD ∴△AEF≌△CDE (2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,△DEF是等边三角形 ∴∠DEF=60° ∴∠BCA=60° 同理可得∠BAC=60° ∴在△ABC中，AB=BC ∴△ABC是等边三角形等腰直角三角形的性质应用及判定【例15】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD= 分析：在Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°， ∴BC=AC=CD,即BC:CD=1:2【例16】已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是 ∠A的平分线，求证：AC+CD=AB分析：过D作DE⊥AB,交AB于E. ∵Rt△AED≌Rt△ACD ∴ED=C。