「线性代数考点总结和解题方法」.pdf

线性代数考点总结和解题方法】线性代数考点总结和解题方法】来源：金鑫松的日志第一部分第一部分:计算问题计算问题四阶行列式的计算；n 阶特殊行列式的计算（如:有行和、列和相等）;矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算)；求矩阵的秩、逆矩阵（两种方法)；解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解)；讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性第二部分：概念问题一、行列式1.行列式的定义用 n 方个元素 Aj组成的记号称为 n 阶行列式1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；()展开式共有！项，其中符号正负各半;行列式的计算(）常见类型：一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法则；n 阶(n=3)行列式的计算：降阶法定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行（列)，保保留一个非零元素,其余元素化为 0，利用定理展开降阶特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2）行列式值为 0 的几种情况:行列式某行（列)元素全为 0；行列式某行(列）的对应元素相同;行列式某行(列）的元素对应成比例;奇数阶的反对称行列式二.矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵,如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算(1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（)关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若 A,称 A、B是可交换矩阵）;矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若 A、B 为同阶方阵,则A|*B|;|kA|=kn|3矩阵的秩(1)定义:非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法:一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩4.逆矩阵(1)定义:A、B 为 n 阶方阵,若BA=,称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵(满足半边也成立);（2）性质:(A)-1=（B-1)*(1)，（A）-1=（-1);（A B 的逆矩阵)（注意顺序)(3)可逆的条件:|A0;r(A)=n;-;(4)逆的求解伴随矩阵法 A-1=(1/|)A*;（A*A 的伴随矩阵)初等变换法（A:I）-（施行初等变换)（I:A-)5.用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X=（A-1）B；XB=A，则B(A-1）;AXB，则 X=（-1)C(B1)三、线性方程组线性方程组解的判定定理:(1)(,b)r(A)无解;()r（A，b)=r（A)有唯一解；(3）r(A,b)=(A)有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组 AX=0()r()n只有零解；(2）r(A)有非零解;再特别，若为方阵,(1）|A|0只有零解(2)|A|=0有非零解2.齐次线性方程组（1)解的情况:r(A）=n,（或系数行列式 D0)只有零解；r(),(或系数行列式 D0）有无穷多组非零解。

2)解的结构：X=c1c+Cn-r-r3)求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解3非齐次线性方程组(）解的情况:利用判定定理2)解的结构:X=uc1+c+rnr3)无穷多组解的求解方法和步骤:与齐次线性方程组相同)唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）四、向量组1.N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵)2.向量的运算：（1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);(2）向量内积=aa2b2+ab；()向量长度|=（a12a22+an2)(根号)（4)向量单位化（1/|）;(5）向量组的正交化（施密特方法)设1，2,n 线性无关,则=1,2=-（21/1）*1，-(3/11)*1-（322)*2，3线性组合（1）定义 若1+2 2+nn,则称是向量组1,2,，n 的一个线性组合,或称可以用向量组1，2，,n 的一个线性表示判别方法 将向量组合成矩阵，记A=（1,2,)，B=(1，,，n,)若r(A)=r(B)，则可以用向量组1,2,，n 的一个线性表示；若 r()(B)，则不可以用向量组1,，n 的一个线性表示。

3）求线性表示表达式的方法：将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数4向量组的线性相关性(）线性相关与线性无关的定义设 k1k22+knn0，若 k1,k2,，kn 不全为 0，称线性相关；若 k1,k,kn 全为,称线性无关2)判别方法:（1,2，)=3）行列式的计算:降阶法定理：阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和方法：选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为,利用定理展开降阶特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；(2)行列式值为 0 的几种情况：行列式某行（列）元素全为 0；行列式某行(列）的对应元素相同;行列式某行(列)的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式二.矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；矩阵的运算（1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律(若 ABB,称 A、B 是可交换矩阵）;矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若 A、B 为同阶方阵，则|AB|A|*|;|kA=knA|.矩阵的秩(1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。

求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩4逆矩阵（）定义：A、为n 阶方阵,若 ABBA，称A可逆,B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立）;(2)性质：(AB)-1=（-1)（A-1)，()-(-）;(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序)(）可逆的条件:|0;r()=n;A-I;（)逆的求解伴随矩阵法 A-1(1A|）A*；(A的伴随矩阵)初等变换法(A:）-(施行初等变换)(I:A-）用逆矩阵求解矩阵方程:XB,则 X=（A1)B;XB=，则B(A-)；A=，则 X=(A1)C(B-1)三、线性方程组1.线性方程组解的判定定理:(）r（,)r(A)无解;(2）(A，b)(A)=n有唯一解；(）(A,b）=r(A）有无穷多组解;特别地：对齐次线性方程组X=（1)r（)只有零解;（2)(A）n有非零解;再特别,若为方阵，()|A|0只有零解(2)|A0有非零解2齐次线性方程组（1)解的情况：r(A)=n,(或系数行列式 D0）只有零解；(A)n，（或系数行列式 D=0）有无穷多组非零解2)解的结构：X=1+c2+Cn-rn-3)求解的方法和步骤:将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系;写出通解。

3.非齐次线性方程组（1)解的情况:利用判定定理)解的结构:X=u+c11+22+n-n-r3)无穷多组解的求解方法和步骤:与齐次线性方程组相同)唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法）四、向量组1.N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵）向量的运算:(1)加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积11+2+anbn；（3）向量长度|=（a12+a22+an2)(根号)(4)向量单位化（1/|);（)向量组的正交化（施密特方法）设1，,n 线性无关,则1,22-（/1)1,3=-（31）*（32/22）2,3.线性组合（1）定义 若=k11+k2+knn,则称是向量组,2，的一个线性组合，或称可以用向量组1,2,，n 的一个线性表示2)判别方法将向量组合成矩阵,记(1，2,n），B=(1，2,n,)若 ()(B)，则可以用向量组,2，,n 的一个线性表示;若r(A)r(B）,则不可以用向量组1，2,，n 的一个线性表示)求线性表示表达式的方法:将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数4.向量组的线性相关性(）线性相关与线性无关的定义设 k1k22+knn=0，若1,k2,kn 不全为 0,称线性相关;若 k1，k2，kn 全为 0,称线性无关。

2)判别方法:(,2,n）n,线性相关;r(,2,，n)=n,线性无关若有 n 个 n 维向量，可用行列式判别：n 阶行列式i=0,线性相关(0 无关)(行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩（）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2)求法 设 A(,，,),将 A 化为阶梯阵,则 A 的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组五、矩阵的特征值和特征向量.定义 对方阵 A，若存在非零向量和数使 A,则称是矩阵 A 的特征值,向量 X 称为矩阵的对应于特征值的特征向量特征值和特征向量的求解:求出特征方程|IA|0 的根即为特征值,将特征值代入对应齐次线性方程组（IA)X中求出方程组的所有非零解即为特征向量3.重要结论：（1）A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0；（2）A 与 A 的转置矩阵有相同的特征值;（）不同特征值对应的特征向量线性无关六、矩阵的相似定义对同阶方阵、B,若存在可逆矩阵,使 P-1AP=B，则称与 B 相似求 A 与对角矩阵相似的方法与步骤（求 P 和）:求出所有特征值;求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则 A可对角化(否则不能对角化），将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P，依次将对应特征值构成对角阵即为。

求通过正交变换与实对称矩阵 A 相似的对角阵:方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化七、二次型1.定义n 元二次多项式 f(x1,2,xn）=ajxixj 称为二次型，若ij(i)，则称为二交型的标准型i，j=1.二次型标准化:配方法和正交变换法正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵 Q,Q-1=,即正交变换既是相似变换又是合同变换3二次型或对称矩阵的正定性：()定义(略);（)正定的充要条件:A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0；为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于;。