高等数学考研辅导练习重积分曲线积分与曲面积分.doc
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《高等数学》考研练重积分及其应用1改变积分顺序：2 x 4 2(1) 0 dx 5_尹 f(x,y)dy 2dx 5_寸 f(x,y)dy = 1 厂 1 1(2) f(x,y)dx+『dy『f (x,y)dx 二 ；42.计算二重积分(y yxe2(x y))d二，这里的D : y二X, y = 一1以及X =1围的平面区D域3.计算二重积分I l yd；「，这里的D : x = -2, y = 0, y = 2以及曲线x - 2y…y2围的D平面区域4.5.求 I = eAx y，sin(x2 y2)d；「，这里的 D : x2 y2 二二D求 fj# yx y ,这里的 D : y = _a +Ja2 _x2 (a = 0)和 y = —x 所围区域d .4a2 -x2 -y26.求I = e-""A，这里的D : 0岂x叮，0岂y叮Dmax7.设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1),(-1,-1)围顶点的三角形区域， D1是D在第一象限部分，则 I i(xy ■ cosxsin y)d；「等于(D(A) 2 i icosxsin ydxdy; (B )D1(C) 4 I i(xy cosxsin y)dxdy;2 xydxdyD1(D ) 0D1X2 y2 乞 R2，求 Ix29.求球面a a(R 0)被平面「与V所夹部分的面积。
10.求 I = "d y -x[dxdy ,这里的D : x < 1, O^y乞211 .填空 i i(x「2y 3)dxdy 二D12.已知f (x)在［a,b］上连续，试证对于大于 1的自然数n，有b x 1 b 1adx (x-y)n f (y)dy a (^ y)n f (y)dya a n _ 1 a13.求 I ： 111 (x - z)dV，这里 V :z = x •设i】是由锥面z = Y-'x2 - y2和半球面z - : ~x — y2围成的空间区域， 工是的整 个边界外侧则 .i .ixdydz • ydzdx • zdxdy = y3.计算曲线积分 Lsin2xdx • 2(x2-1)ydy，其中L是曲线y = sinx上从点(0, 0)到点(二，0)的一段 .设曲面匸是锥面z = . 4-x2「y2的上侧，贝U 11 x y d y d z x d d x x d x d y y2 与 z f：：1 - x2 - y2 围成的立体V14. 求I二 z、.. x2 y2dV，这里V : x2 • y2 • z2 = 2的上半球面与 z = x2 y2所围立V体。
15. 计算!!!(x2 - y2 z2)dV，这里V : Z=x2 • y2与上半曲面x2 y2 z2 = R2所围立V体(R .0)16. 计算川 x2dV，这里 V : x2 y2 z^l2zV17. 计算 11 i(x2 y2 z)dV，这里 V : z = x2 • y2与 x2 • y2 = 1 以及 z = 0所围立体V2 2 v = 2z18.绕z轴旋转一周而成的曲面与平面求II i(x y z)dV，这里V :由曲线yV . x = o z = 4所围的立体19.设函数f(x)连续，且恒大于零,hi f (x2 y2 z2)dV iif (x2 y2)d 二F(t)二竺 2 2 ,G⑴二牛-” f(x +y )2 j f (x2)dxD(t) *其中门(t) _、(x, y, z) | x2 y2 z2 _ t2 - D(t) - " (x, y) |x2 y2 _ t2 f2(1)讨论F(t)在(0, •：：)内的单调性； (2)证明，当t 0时，F(t) G(t)ji练习12曲线积分与曲面积分1. 设二是锥面 z = x2 y2 (0 三 z^1)的下侧，贝 U 11 xdydz • 2ydzdx • 3(z-1)dxdyX5.设 r =、、x2 y2 z2，则 div( gradr) |(i, 2,2)=6 . 计算曲线积分I = 口(y2 一 z2)dx (z2 -x2)dy - (x2 - y2)dz ,其中L是用平面3 ,x • y • z =-截立方体？(x,y,z)|Omx乞1,0岂y^1,0乞的表面所得截痕，若从 Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。
7.设L为椭圆——=1，其周长记为aU ”L(2xy 3x2 4y2)ds 二计算曲线积分』(z —y)dx + (x—z)dy + (x —y)dz，其中 L 是曲线「 2 丄 2 A彳 X +y=1x- y z= 2，从Oz轴正向往Oz轴的负向看去，取顺时针方向9.计算曲线积分ydx - (x - 1)dy L (x -1)2 y2(1) L为圆周x2 • y2「2y = 0的正向；(2) L为椭圆4x2 • y2「8x = 0的正向10.设曲线L是正向圆周(x-a)2 • (y-a)2 =1 , (x)是连续的正函数，证明dy -y「(x)dx _2二11.设函数f (x)在(-〜•：：)内具有一阶连续导数， L是上半平面(y • 0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)记1 2厂(1 y f(xy))dx lx -—(y f (xy) —1)dy , y(1) 证明曲线积分I与路径L无关；) 当ab=cd时，求I的值12.求！！ xyz dS , S 为抛物面 z = x2 y2 (0 _ z _ 1)Sf (x)dy = 0 ,其中 L13.求具有连续二阶导数的函数f (x)，使得 Q(ln x - f (x))*dx为xOy平面上第一象限内任意一条光滑闭曲线。
14.求 a 的值，使 ex(ey(x - y 2) ay)dx ex(ey (x - y) 1)dy 为某一函数 u=u(x,y)的全微分，并求u(x, y)15. 计算F(y -4)dj—(x —3)?y , c为以o为心，边长为12的正方形的四边，取逆时比(x—3) +(y—4)针方向16. 设f (u)具有一阶连续的导数，证明对任意光滑闭曲线 l,有g[fyjx x> + ) o=117. 已知曲线积分 2(xdy-ydx)三A , A为常数，(x)是一可导函数，"1) = 1乩碎(x) + yL是绕原点(0,0) —周的任意正向闭曲线试求出 :(x)及A218.计算“ axdydz (z a) dxdy，其中二为乙…2—… (a . 0)的上侧 工(x2+y2+z2)2。
