数学建模案例与方法教学课件第3章线性代数模型.ppt

数学建模案例与方法数学建模案例与方法线性代数模型线性代数模型第 3 章目录CONTENTS遗 传 模 型3.1价格弹性矩阵3.2交通网络流量分析模型3.3两个城市支付基金的流动模型3.4森林管理模型3.5投入产出模型3.6线性代数模型线性代数模型线性代数在经济管理科学和技术学科中有着重要的应用在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分随着科学技术的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具线性代数模型是数学模型的常用模型本章将利用线性代数的相关知识来解决六个实际问题3.1 遗遗 传传 模模 型型 模型背景与问题提出 3.1.13.1.1常染色体遗传是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的，那么就有三种可能的基因型：AA、AB和BB例如，金鱼草由两个遗传基因决定它开花的颜色，AA型的开红花，AB型的开粉花，而BB型的开白花。

这里的AA型和AB型表示同一外部特征(红色)，则人们认为基因A支配基因B，也说成基因B对于基因A是隐性的当一个亲体的基因型为AB，另一个亲体的基因型为BB时，后代可从BB型中得到基因B，从AB型中得到基因A或基因B，且是等可能性地得到3.1 遗遗 传传 模模 型型问题：某植物园中的一种植物的基因型有AA、AB和BB现计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型的分布情况3.1 遗遗 传传 模模 型型 模型假设 3.1.23.1.2假设1 按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A或B是等可能的，即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况见表3-13.1 遗遗 传传 模模 型型假设2 以an、bn和cn分别表示第n代植物中基因型为AA、AB和BB的植物总数的百分率，以x(n)表示第n代植物的基因型分布，即有（3-1）特别当n=0时，x(0)=(a0，b0，c0)T表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取的各种基因型分布)，所以有a0+b0+c0=13.1 遗遗 传传 模模 型型 模型建立 3.1.33.1.3由于原问题是采用AA型与每种基因型相结合，因此这里只考虑表3-1中的前三列。

首先考虑第n代中的AA型，按表3-1中所给的数据，第n代AA型所占百分率为（3-2）即第n-1代的AA型与AA型结合全部进入第n代的AA型，第n-1代的AB型与AA型结合只有一半进入第n代的AA型，第n-1代的BB型与AA型结合没有一个成为AA型而进入第n代的AA型，故有3.1 遗遗 传传 模模 型型3.1 遗遗 传传 模模 型型 模型求解 3.1.43.1.4模型求解的关键是计算Mn为计算简便，将M对角化，即求出可逆阵P，使P1MP=，即有M=PP1（3-8）从而可计算得到Mn=PnP1(n=1,2,)（3-9）式中，为对角阵，其对角元素为M的特征值；P为M的特征值所对应的特征向量，即3.1 遗遗 传传 模模 型型3.1 遗遗 传传 模模 型型3.1 遗遗 传传 模模 型型 模型分析 3.1.53.1.5完全类似地，可以选用AB型和BB型植物与每一个其他基因型的植物相结合，从而得出类似的结果特别是将具有相同基因型的植物相结合，并利用表3-1中的第1、4、6列的数据，使用类似模型及解法得到以下结果：这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因AA和BB，而基因AB消失了。

3.1 遗遗 传传 模模 型型本模型巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用了特征值和特征向量，通过对角化的方法解决了矩阵n次幂的计算问题3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵 模型背景 3.2.13.2.1设有m种相关商品A1，A2，Am，它们的价格分别为P1，P2，Pm，需求量分别为Q1，Q2，Qm，由经济理论知道，需求量Q1，Q2，Qm随着价格P1，P2，Pm的改变而变化，因而，这m种商品的需求函数为（3-12）3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵当第j种商品的价格Pj变化时，会引起第i种商品需求的变化，定义为（3-13）式中，ij为第i种商品受第j种商品价格影响的偏弹性（或交叉弹性），其经济含义为第j种商品价格改变1%时，第i种商品需求量变化的百分数称矩阵（3-14）为商品A1，A2，Am的价格弹性矩阵3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵 问题提出 3.2.23.2.2利用价格弹性矩阵可做一些经济决策的量化分析某奶牛场生产三种产品:牛奶、奶粉和奶油2015年某奶牛场产品的市场消费量和价格见表3-23.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵价格的变化会影响消费者的需求已知这三种产品的价格弹性矩阵为奶牛场要制订2016年的生产计划，使销售总收入为最大。

3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵 模型建立 3.2.33.2.3由于销量受价格影响程度的弹性矩阵已知，因而只需给出价格政策，即可确定销量（产量）设2015年三种产品的价格分别为p1、p2、p3，销量分别为q1、q2、q3；又设牛奶、奶粉、奶油的价格分别比2015年增长x1、x2、x3，则2016年三种产品的价格分别为p1=p11+x1p2=p21+x2p3=p31+x33.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵因为第j种商品价格的提高，使第i种商品的销量产生变化，由于ij表示第j种商品价格提高1%使第i种产品销量提高的百分数，故牛奶、奶粉、奶油价格变化后，牛奶销量变化的百分数为11x1+12x2+13x3故牛奶2016年的产量为3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵解方程组得x1=0.022=2.2%,x2=0.099=9.9%,x3=0.043=4.3%，即牛奶的价格上涨2.2%，奶粉的价格上涨9.9%，奶油的价格降低4.3%，可以看出涨价幅度都在10%以内据此可算出牛奶的产量为q1=2001+(1.2)2.2%+0.19.9%+0.1(4.3%)=195.84(t)牛奶的产量较2015年减少了2.1%。

奶粉的产量为q2=401+0.12.2%0.99.9%+0.1(4.3%)=4010.0912=36.352(t)奶粉的产量较2015年减少了9.12%3.2 价格价格弹性矩阵弹性矩阵奶油的产量为q3=21+0.42.2%+0.29.9%3(4.3%)=21+0.158=2.316(t)奶油的产量较2015年增加了15.8%2016年的销售总收入为R(x1,x2,x3)=171万元，比2015年增长了1万元若求出的奶粉涨价幅度超出规定，则可先按奶粉价格上涨10%计算，再计算其他产品的价格通过这个数学模型，可以把握市场动态，知道应增产哪种产品，减产哪种产品3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型 模型背景与问题提出 3.3.13.3.1城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价和改善城市交通状况的基础根据实际的车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵下面利用线性代数方程组理论来分析交通网络流量问题3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型某城市局部公路交通网络如图3-1所示，其中的数字表示高峰期进出该网络的车流量（单位：辆），箭头表明了车辆的行驶方向，试用数学模型描述此交通网络的平衡状态。

图3-1 某城市局部公路交通网络3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型 模型假设 3.3.23.3.2假设1 每条道路都是单行线假设2 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等假设3 全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型 模型建立与求解 3.3.33.3.3根据各结点的进、出流量平衡可知，整个网络的进、出流量平衡，可得线性方程组为x2x3+x4=300 x4+x5=500 x7x6=200 x1+x2=800 x1+x5=800 x7+x8=1000 x9=400 x10 x9=200 x10=600 x8+x3+x6=1003.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型这是10个变量10个方程的线性方程组，可以用MATLAB软件求解该方程组经计算系数矩阵的秩R(A)=8，增广矩阵的秩R(A)=810，说明该非齐次线性方程组有无穷多个解增广矩阵的最简型为3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型以x5和x8作为自由变量，将最简型的方程组转化为x1=800 x5，x2=x5，x3=200，x4=500 x5，x6=800 x8，x7=1000 x8，x9=400，x10=600。

其中，x5和x8可取非负值，并且使其余变量非负实际上，只要x5500、x8800即可满足要求如果结合实际情况，可以选择合适的x5和x8，使交通网络满足实际要求；或者在满足上述条件的情况下，使某一个目标函数达到最大值（或最小值），从而对交通网络进行优化3.3 交通网络交通网络流量分析模型流量分析模型由增广矩阵的最简型可知，上述方程组中的最后两个方程是多余的，即最后两个方程不起作用事实上，以其他变量为自由变量，也能使交通网络满足实际要求3.4 两两个城市支付基金的流动模型个城市支付基金的流动模型 模型背景与问题提出 3.4.13.4.1金融机构为保证现金充分支付，设立一笔总额为5400万的基金，分开放置在位于A城和B城的两家公司，基金平时可以使用，但周末结算时必须确保总额仍为5400万经过相当长的一段时期的现金流动，发现每过一周，各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司，A城公司有10%支付基金流动到B城公司，B城公司则有12%支付基金流动到A城公司起初A城公司的基金为2600万，B城公司的基金为2800万按此规律，两公司支付基金数额的变化趋势如何？如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万，那么是否需要在必要时调整基金？3.4 两两个城市支付基金的流动模型个城市支付基金的流动模型 模型建立 3.4.23.4.2解决这个问题有许多方法，下面借助线性代数知识来处理这个问题。

设第k+1周末结算时，A城公司、B城公司的支付基金数分别为ak+1和bk+1（单位：万元），则有ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk(k=0,1,2,)（3-19）式中，a0=2600，b0=2800此时，原问题转化为：（1）把ak+1和bk+1表示成k的函数，并确定limk+ak和limk+bk2）limk+ak和limk+bk是否小于22003.4 两两个城市支付基金的流动模型个城市支付基金的流动模型 模型求解 3.4.33.4.33.4 两两个城市支付基金的流动模型个城市支付基金的流动模型A=EA=0可以通过分析矩阵A的特征值来判断Xk+1=AXk平衡点的稳定性1）当任意的A，1或者=1，则平衡点X*是稳定的2）当任意的A,1且1，则平衡点是不稳定的对于式（3-19），求得A的特征值为1=1，2=0.78，因此其平衡点是稳定的3.4 两两个城市支付基金的流动模型个城市支付基金的流动模型 模型分析 3.4.43.4.4下面用线性代数的相关理论对模型进行详细分析由式（3-20）可得3.4 两两个城市支付基金的流动模型个城市支付基金的流动模型3.5 森林森林管理模型管理模型 模型假设 3.5.13.5.1把森林中的树木按高度分为n类，第一类树木（幼苗）的高度为0，h1，每棵树木的经济价值p1=0；第k类（1kn）树木的高度为hk-1，hk，每棵树木的经济价值为pk；第n类树木的高度为hn1,，每棵树木的经济价值为pn。