六大定理互相证明总结资料.doc

六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数，有＜，（2）当时，区间列的长度所成的数列收敛于零，即.显然数列中每一个元素均是数列的下界，而数列中每一个元素均是数列的上界.由确界定理，数列有上确界，数列有下确界.设显然.又 即及收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因有界，则必有上确界.现在证明恰好是的极限，即.由上确界的定义有：⑴（…），⑵对任意给定的＞0，在中至少有一个数，有＞.但由于是单调增加数列，因此当＞时，有，从而＞.也就是说：当＞时，有 ＜所以 2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限.2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列必存在单调子数列.证明：⑴若中存在递增子序列，则引理已证明；⑵若中无递增子序列，那么＞0，使＞，恒有＞.同样在（＞）中也无递增子序列.于是又存在＞0，使＞，恒有＜＜.如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列.引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道是单调增加有上界的数列，是单调递减有下界的数列.根据定理，则存在，且极限等于的上确界.同样，也存在，且极限等于的下确界.亦即对任何正整数，有 （*）由定理的另一条件： ，并且由于已知及的极限都存在，则有.从而证明了两个极限相等，且设是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 （…）也就是是所有区间的一个公共点.现在要证明是所有区间的唯一公共点.设除点外，所设区间列还有另外一个公共点，且.由于（…），故有 （…）由数列极限的性质知道： 由于，故有 从而有.到此定理的全部结果都已得证.3 区间套定理3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数，有＜，（2）当时，区间列的长度所成的数列收敛于零，即，则区间的端点所成两数列及收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列递增有上界.取闭区间，使不是数列的上界，是数列的上界.显然在闭区间内含有数列的无穷多项，而在外仅含有数列的有限项.对分，取，使其具有的性质.故在闭区间内含有数列的无穷多项，而在外仅含有数列的有限项.以此方法，得区间列.由区间套定理，是所有区间的唯一公共点.显然，在的任何邻域内有数列的无穷多项，即＞0，，当＞时，有＜.所以 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设为有界数列，即存在两个数，使.等分区间为两个区间，则至少有一个区间含有中的无穷个数.把这个区间记为，如果两个区间都含有无穷个，则任取其一作为.再等分区间为两半，记含有无穷个的区间为.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）…（2）于是由区间套定理，必存在唯一点使，且（…）.每一中均含有的无穷个元素.在中任取的一项，记为，即的第项.由于也含有无穷个，则它必含有以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为，则＜.继续在每一中都这样取出一个数，即得的一个子列，其中＜＜…＜＜…，且.令，由于故.这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列.4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列.令.于是，对＞0，，当＞时，有 ＜ （*）由于单调递增，显然恒有（…）.由此（*）式可改成0＜ （＞）取，当＞时有 ＜所以 4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1]证明：首先证明条件的必要性：设，则对任意给定＞0，有一正整数，当＞时，有 ＜从而当＞时，有 ＜+=其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取=1，必有一正整数，当＞时，有＜1特别地，当＞且时，有 ＜1从而当＞时，有 ＜1+这就证明了的有界性.由致密性定理，必有收敛子列，设.根据子列收敛定义，对任意给定的＞0，必有正整数，当＞时，有 ＜取一正整数.于是＞，且＞.因此，当＞时，由已知条件有＜，所以＜+=2即 5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理 数列有极限的必要与充分条件是：对任意给定的＞0，有正整数，当, ＞时，有＜.5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设为一递增且有上界的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是＞0，对，当＞时，有 取，必有一正整数，当＞时，有.又由于数列为一递增的数列，所以取，必有一正整数，当＞时，有取，必有一正整数，当＞时，有…………… …………… ……………取，必有一正整数，当＞时，有将以上式子相加，得 （）与数列有上界矛盾，假设不成立.即，单调有界数列有极限.5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设为一有上界的数列.假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则＞0，对，当＞时，有.取，必有一正整数，当＞时，有取，必有一正整数，当＞时，有取，必有一正整数，当＞时，有…………… …………… ……………取，必有一正整数，当＞时，有显然与数列有上界矛盾，假设不成立.即，任一有界数列必有收敛子列.6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集覆盖一个闭区间[,],则总可以从中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[,].6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间，,有,任取一点，假设无上确界，那么[,]:ⅰ)当为的上界时，必有更小的上界＜,因而存在一开邻域，其中每一点均为的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当不是的上界时，则有使＞,那么存在一开邻域，其中每点均不是的上界，称其为第二类区间. 当取遍[,]上每一点找出一个邻域.显然不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[,]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[,].显然所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间有公共点.所以，均为的上界.而与相邻接的开区间有公共点，所以 ，均为的上界. 依此类推，所在的开区间也是第一类区间，则为的上界.又，为常数集.由此矛盾引出.得证.同理，有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设是一有界数列，现在证明有收敛子列.（1）如果仅由有限个数组成，那么至少有一个数要重复无限多次，即=…=… 因而子列收敛于.（2）如果是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间，使对一切自然数都有＜＜在内至少存在一点，使对于任意的正数，在内都含有中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于中每一点，都有＞0，在内，仅有中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：，完全覆盖了闭区间，依有限覆盖定理，存在中的有限多个区间.，…，，他们也覆盖了，并且在每一个（…,）中都只含中的有限多个数.因此也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾.于是，对于=（…），于内取中无穷多个点，就得到的子列满足：＜（…）从而得证.总结：六大定理可以分为两类：① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质；② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。