量子力学第五章习题.doc

第五章微扰理论5.1如果类氢原子的核不是点电荷 ，而是半径为r°,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢 原子基态能量的一级修正解：这种分布只对rcr的区域有影响，对r Hr的区域无影响.根据题意知R 二U r -Uo r,即其中Uo r是不考虑这种效应的势能分布2 zeUo「二 4“rU r为考虑这种效应后的势能分布,在r_r°的区域为u「=泾4二；°r#在r ::: ro的区域,U r可由下式qQU r - -e Edr其中电场为##4 二；or2 4 ：3 ToZe 4 3r3 3Ze4 二;o「o3 '#r rZe4 二;or2则有:##U r = -e r Edr4 二;or行_ Ze2 2 2」85o3 ro "ror rdr-e ,EdrZe2二 12 dr4二;o 'ro r2)-ze 一4 二；心-r2 r"因此有微扰哈密顿量为r 2 J 1Zes 3ro? I- 3HT=U (r )—Uo(r )=« ro i 2Ze2rr r0其中 es =e .4二;o类氢原子基态的一级波函数为1寸4兀\ao j 按定态微扰论公式，基态的一级能量修正值为E1（1）=H1；=fOR%odl‘1oo = R-1oYo^ = Z ao 2 2exp - Zr ao ] 4鳥3Z氓Zran2e o「0JIZe2勺—丄丄ro2 ro2 丿12Zre ao r2dr#完成上面的积分r0 2Zr0rdr--4ZeSz、3,需要作作三个形如b 2Zr0r2drr0 _2Zr「r4dr03 r0兰3 a° 2乔 e r dr2r*0 0• byme*dy的积分，用分部积分法，得02Zr°a02Z严2Z2Zb3 0) 3『就八一穿 e0 2Z2 • 2Zre好a0Z2ZH-厂2Z2ZI05 %2Z Jra0aa2Zz -aQ2 -e +24电4=_込八2i…2z「电 r04 -2Z 0 Z我们可以计算E；,jZ”32。

丿 j2r'[2?「（2Z 丿（F a0E； —ZeS便1[lla0 丿 2竺32Z2Zr°2Zr°、ao」+24任卜+12（計"佳卜+―卢+24阁2a° 3 3a° 2 3a) 3a°-J 〒「0 尹0京2Zr0JL a00z r0a0Z「°2 、+ 30 |2Z2丿2Zr°e 吨丿西r4 •绝「廻「02Z Z3a°2Z4丿a0 32Ze % +24⑵丿」西 r0 ■-300 2 zao2Zf 3 +3a0 + 3a000 Zr° 2Z r° 丿2Z2Zro3o2 '3a2 Z er 2 3 — 2Z r° a° 丿但是既然是近似计算，我们再适当地作一次近似氢原子的半径约为r ~ 10 43 cm ,2r 10^310*iEir° 2r 务 e「a「 a 0ro-5：103 _ ^~2 ro 丿a0 8而 a ~10 cm Z2re蔦所以有' 2 3 24 h Zes 3「0 丄 Zes 1 5 丄 _ 2 1 2.一 十-_r0 十 Zes_r0r0 2 3 2r0 5 22 22 ZesD5 a32#这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为Ze：丄 2Ze：r02 Ze? f 4「 T 5— = — | I _ 22a i 5 a yE^E10 - E11 32a 5 a2 2Z es,-7 2 2、4Z「°5 ao2#D的空间转子处在均匀电场 E中，如果电场较小，用微扰法5.2转动惯量为I，电偶极矩为 求转子基态能量的一级修正。

解：自由空间转子的能级和波函数为El01.4::我们选外加电场E的方向沿球极坐标的极轴方向 （即z轴的正向）,则微扰哈密顿算符为H? = -D E = - D E cos -据此我们求出有用的矩阵元（对基态）对于基态E： =0'「0 二丫002#* * 1cos 如〕4 二H 'l0 = Ym -D ； COST 丫00曲--DE Ym二吐.；丫心一D； ”m0上面用到"冷 如及球谐函数的正交性 从上面的计算式可见，微扰矩阵元只有其余为零•故即基态能级的一级修正为零基态能量的二级修正为2E0lHl0ll* 2（已0）Eo -El0 _E° -E；5.3111 2 "2I设一体系未受微扰作用时只有两个能级右de2兀为 H11 =H22 =b,H12 =H解：哈密顿矩阵为：:E°1及E°2,现在受到微扰H?的作用，微扰矩阵21二a ； a,b都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值2#亡01 +ba,010z 、+『b aI a—1E02」（a b丿H 二微扰哈密顿矩阵元为：= H22 = b, H12 = H 21 = a代入能量的二级近似公式巳=Ef）+H；n+2：2#2#a2巳占b已0世0E^E20 ba2E20 -Ei02#Ei = E0i2 aE2 = E02 _b -2 a2#.设单色光的电场近似.求这单5.4设在t =0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离地以平面波表示为 E sin；.-：t , E及;均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示 色光的最小频率和在时刻 t跃迁电离态的几率•解：(1)当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为「min = h. min2#2#min仏4 =盯微扰其中(2) t = 0时，氢原子处于基态在t时刻，处于电离态叫=^1 =RoYoo = ■ 寸4兀乜0丿2eH?'（t ）=eE rsineet = ： r（—eF二 F? d 七-2i在t时刻跃迁到电离态的几率为mt21 t + dam0 ）二花［Hmkei®k dt"=寻（加怦坷_e仲刪$，mk •讥 1 $ • mkPf：t 1• 'mk「I :■■'.mk -/ mkt dtF mkT对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，-Fmke炉切-1am t -■"国mk 一0J片|2（能科-1怡咿词-1）_ am （t ） - 2mk伽科 i㈣ 「巴切 炉k£） igcmy） \e 2 -e 2 e e 2 e 22#其中i忖守上 ]• mk p：：t ] • m：守:左 匕p?e - - e e - - e—人—-'mk 7 '?（|（吟2窃）丄®甸）丫 *麗克_^笙窃）:4 Fmk2i2i2 e —e | e —eFm「. 2i4 Fmksin212i2I ' mk •'Yj「mk - * ■ t—22i1 2"-mk j2iF mk2- 一2「卞「Pr专/0d.#Fmk J由八E r宀汽p)'rEy题5.4图1 1 e2 二 一 2 ,二a0 2i '（pr cos -12 .lk --0 ,；.o"e Er sin〉sin v cos 丨：E r cos 二 costre a0r 2dr sin vdvd :取电子电离后的动量方向为 Z方向,取E , p所在平面为xoz面，则有E r =E

"mk 7 t2一, 128p2e2a75El.'-'mk '■"： I7 5E2cos2： sn二2 afp2「2 6|"mk「••；：• :t:厂2I ' mk - '■"： I5.5基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降，即o when t _ oE0e when t _O| ：：： 0求经过长时间后氢原子处在 2p态的几率.解：设电场E沿z方向，则微扰哈密顿为H?二eE r 二eEoze」二e£r cos^e上按照微扰论,由状态| k）跃迁到状态| 的几率决定于an （t ftan （t ）=十［Hnke<^ktdt"i ‘‘ o 因此,要求得an t ,必须先。