最新初等数论练习题一(含答案).pdf

精品文档 精品文档 《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、), 0(b（ ）. A b B b C b D 0 2、如果1),(ba，则),(baab=（ ）. A a B b C 1 D ba 3、小于 30 的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(modmba ,c是任意整数,则 A )(mod mbcac  B ba  C (mod)acbcm  D ba  5、不定方程210231525yx（ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数 5874192 能被( )整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 7、如果ab，ba，则( ). A ba  B ba C ba  D ba 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于 20 且小于 40 的素数有（ ）. A 4 个 B 5 个 C 2 个 D 3 个 10、模 7 的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512yx没有解. A [12，15]不整除 7 B （12，15）不整除 7 C 7 不整除（12，15） D 7 不整除[12，15] 12、同余式)593(mod4382x（ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数ba，0,( , )1ab a b，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod01512x有解，而且解的个数为( ). 3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n是一正整数，Euler 函数)(n表示所有( )n，而且与n（ ）的正整数的个数. 5、设ba,整数，则),(ba（ ）=ab. 6、一个整数能被 3 整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被 3 整除. 7、][xx（ ）. 8、同余式)321(mod75111 x有解,而且解的个数( ). 9、在 176 与 545 之间有( )是 17 的倍数. 精品文档 精品文档 10、如果0ab,则),](,[baba=( ). 11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(ba,那么),(baab=( ). 三、计算题 1、求 24871 与 3468 的最小公倍数? 2、求解不定方程2537107yx.（8 分） 3、求563429, 其中 563是素数. （8 分） 4、解同余式)321(mod75111 x.（8 分） 5、求[525,231]=? 6、求解不定方程18116yx. 7、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？ 8、求 11 的平方剩余与平方非剩余. 四、证明题 1、任意一个n位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是 9的倍数. （11 分） 2、证明当n是奇数时，有) 12(3n.（10 分） 3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积, 仍然是两个平方数的和; 两个能表成两个平方数和的数的乘积, 也是一个两个平方数和的数. （11 分） 4、如果整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数. 5、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,,使得rbqa,其中br 0. 精品文档 精品文档 《初等数论》期末练习二答案 一、单项选择题 1、C 2、C 3、A 4、A 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、D 11、B 12、B 二、填空题 1、有理数ba，1),( ,0baba ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(b ）. 2、同余式)45(mod01512x有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为( 41 ). 4、设n是一正整数，Euler 函数)(n表示所有( 不大于 )n，而且与n（ 互素 ）的正整数的个数. 5、设ba,整数，则),(ba（ ],[ba ）=ab. 6、一个整数能被 3 整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被 3 整除. 7、][xx（ }{x ）. 8、同余式)321(mod75111 x有解,而且解的个数( 3 ). 9、在 176 与 545 之间有( 12 )是 17 的倍数. 10、如果0ab,则),](,[baba=( ab ). 11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果1),(ba,那么),(baab=( 1 ). 三、计算题 1、求 24871 与 3468 的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以[24871,3468]= 17346824871=5073684 所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。

2、求解不定方程2537107yx.（8 分） 解：因为（107，37）=125，所以有解； 考虑137107yx，有26, 9yx， 所以，原方程特解为259x=225，2526y=-650， 所以通解为tytx107650,37225 3、求563429, 其中 563是素数. （8 分） 解 把563429看成 Jacobi符号, 我们有 27672767) 1(67276742967429) 1(429672167.212721429.2167 11311327) 1(27132113.2127, 即 429是 563的平方剩余. 精品文档 精品文档 4、解同余式)321(mod75111 x.（8 分） 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有 3 个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod2537x. 我们再解不定方程2510737yx, 得到一解(-8,3). 于是定理 4.1中的80x. 因此同余式的 3 个解为 )321(mod8x, )321(mod99)321(mod33218x, )321(mod206)321(mod332128x. 5、求[525,231]=? 解：解：因为（525,231）=21 所以 [525,231]= 17231525=5775 6、求解不定方程18116yx. 解：因为（6，11）18，所以有解； 考虑1116yx，有1, 2yx。

所以，特解为18,36yx， 通解为tytx618,1136 7、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？（8 分） 解 我们容易知道 1847是素数, 所以只需求1847365的值. 如果其值是 1,则所给的同余式有解, 否则无解. 因为735365, 所以 184773184751847365. 再)4(mod173),4(mod15, 所以 1525184718475, 精品文档 精品文档 . 17471111711731 73117327322731847184773 所以, 1847365=1. 于是所给的同余式有解. 8、求 11 的平方剩余与平方非剩余. 解 因为52111, 所以平方剩余与平方非剩余各有 5 个. 又因为 112,422,932,542,352, 所以,1，3 ，4 ，5 ，9 是素数 11 的 5 个平方剩余. 其它的 8 个数，2 ，6 ，7 ，8 ，10 是素数 11的平方非剩余. 四、证明题 1、任意一个n位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是 9的倍数. （11 分） 证明 因为 121aaaann12211101010aaaannnn, nnaaaa121=nnnnaaaa10101012211, 所以,121aaaann-nnaaaa121= ).101 ()101 (10) 110(10) 110(1132311nnnnnnaaaa 而上面等式右边的每一项均是 9 的倍数, 于是所证明的结论成立. 2、证明当n是奇数时，有) 12(3n.（10 分） 证明 因为)3(mod12, 所以 )3(mod1) 1(12nn. 于是, 当n是奇数时, 我们可以令12  kn. 从而有)3(mod01) 1(1212kn, 即) 12(3n. 精品文档 精品文档 3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积, 仍然是两个平方数的和; 两个能表成两个平方数和的数的乘积, 也是一个两个平方数和的数. （11 分） 证明 （1 ）设22bam, 则显然222)()(rbramr. （2 ）如果22dcn, 那么 222222222222))((dbcbdacadcbamn =)2()2(22222222abcdcbdaabcddbca =22)()(bcadbdac. 4、如果整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数.(11 分) 证明 设a是一正整数, 并将a写成 10 进位数的形式: a=1101010nnnnaaa,010ia. 因为 100(mod5), 所以我们得到 )5(mod0aa  所以整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数. 5、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,,使得rbqa,其中br 0. 证明 首先证明唯一性. 设q,r是满足条件的另外整数对, 即 rqba,br 0. 所以rbqrqb, 即rrb,rrb. 又 由于br 0,br 0, 所以brr. 如果, 则等式rrb不可能成立. 因此,rr. 其次证明存在性. 我们考虑整数的有序列 ……,,3 ,2 ,, 0 ,,2,3bbbbbb…… 精品文档 精品文档 则整数a应介于上面有序列的某两数之间, 即存在一整数q使 bqaqb1. 我们设qbar, 则有rbqa,br 0. 。