安徽大学高等数学期末试卷和答案.docx

题号一一三四五总分得分阅卷人B B B线性表示，则下列说法正确的是1, 2，，sB B B线性表示，则下列说法正确的是(B)…； B B、 Z 丁，r 、 B )); (D)秩(a a a ) >1， 2， ， s B BB )可作为R3的另一组基2(C) 12,3,(D) 12, 2 3, 1 3安徽大学201 +201学年第一学期《高等数学A (三)»考试试卷(A卷)(闭卷 时间12分钟)考场登记表序号、选择题(每小题2分，共16) 得分1 .设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是( )1 T T 1 (A) (2A-1 =2A1 ; (B) (2Ay=(2AT)」；(A 1)- 1)T=(A)- 1)- \ (D)演)丁)- 1 =似 1)- 1)To2 .右向量组 1， 2， , ra a a可由另一■向量组( )A) r < s；(C)秩(1，2， ， r 1， 2， ， sa a a ) & 秩(0 0秩(3.设AB为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是((A)入 E- A=入 E- B;(B) A与B有相同的特征值和特征向量；(C) A与B都相似于一个对角矩阵；(D)对任意常数k, k£ A与kE- B相似。

A) 1， 2， 3a a a为R的一组基，则下列向量组中，((B) 1，1 2,3 1 2 1，2,2 1a+a a+a a+aC) a a a + a ;5.设P(A=0.8 P(B)=0.7 RA|B)=0.8则下列结论正确的是((A)事件A与B互不相容;(C)事件A与B互相独立;(B) A? B;(D) RAU B) = RQ+RE)得分7设入=2是非奇异矩阵A的一个特征值,皿日吹o. r必有一个特征值等 则矩阵?_1 ?A28―设离散型-随机变量X的分布列为PX = k(=a?)??3?、填空题（每小题2分，共10分）6设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为9设离散型随机变量X的分布列为0.25 0.5 0.25PY=1=6件，测得平均直径为10某车间生产的滚珠直径X服从N（n…2）,现从产品中随机抽取x=14,若已知方差9562 =0.06则平均直径祖的置信度为95购置信区间(①(1.9=0.975,(1.6450.95、计算题（每小题9分,共9分）11计算下列行列式，这里2 3 n 0四、分析题(每小题1吩，共6吩)12已知线性方程组AX=B有无穷多解，其中? a 1 1??A=? 0 a- 1 0?? 1 1 a?求：⑴a的值；(2)方程组AX= B的通解得分13设二次型 f(X)=2x2+3x2+3k2 +4xx ,1 2 3 2 3(1)求正交变换X = QY,并写出f(X)的标准形;(2)判定二次型f(X)的正定性。

14玻璃杯成箱出售，每箱8只，假设每箱含0只和1只残次品的概率分别为0.8和0.2一 位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看 2只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率15设(X,Y)服从以x轴、直线x=1以及y = x围成的三角区域上均匀分布，试判断 X,Y的独 立性和相关性依II* i16假设总体X的密度函数为其中，9 >0是未知参数,为取自X的样本，试求9的矩估计量和最大似然估计量得分五、证明题（每小题6分，共6分）17若A为n阶方阵，且A = 0,证明：A- E为可逆矩阵201+201学年第一学期《高等数学A （三一、选择题（每小题241、C; 2、C; :二、填空题（每小题24& 0; 7、3/4三、计算题（每小题9411解：将第j列乘上' ・a -D 1n（7分）?二？ a -1?四、分析题（每小题1312.解：（1）增广矩阵? a 1 1 -??1) » (A卷)考试试题参考答案及评分标准3 共 16)I D; 4 D; 5 G3 共 16)8 27/65 9 0.5 10 (14.754,15.146)9,共9分)1均加到第1列上(j=23',n),得到 a-"1 1 1- -- 1 1 1" "a a a2 3 n-0 a 0 0"20 0 a 0"3 " 0 0 0 a"n ?n 1E "a. (9分)? aa2 3 na?j=2 j分，共6吩)? 1 1 a 1?2? ?一？ 0 a- 1 0 1? ?? -??A=?a-0 1 0 1??1 1 a 1???1 1 a?? -0 a1 0?1 1?—? ■0 a1 00 1 a1 a 2 a2因为线性方程组AX=B有无穷多解，故a=- 1(2)当 a=- 1 时,1 1 1 1? ? 1 0 1 3/2?a 1 ?1-1 a2-1 0 1 3/2(6分)A- ?0-2 0 1?f?0-2 0 10 0 0 0 0 0 0 0? ? ?故方程组的通解为f? 0 1 0 - 1/2?3? ? 1?o（1吩）? 2 0 0?小、小J…। ? I13鱼（1厂次型的矩阵为 二? 0 3 2?。

由A? ?0 2 3??入-2 0 0入 E- A= 0 入-3 - 2 =（入-2）Q - 5）（-入1）0 - 2 入-3（4分）得A的特征值为 入1=2，入2=5入3=1当入1=2时，解方程（2E- AX=0,由? 0 0 0 ? ? 0 1 2?,得特征向量（10 0）■.取a = T1 （U）当入2=5时，解方程（5E-丹X=0,由? 3 0 0 ? ? 1 0 0?,? ? ??5E- A=? 0 2 - 2? 一？ 0 1 -1一 一 ？? - ? ??0 2 2 0 0 0得特征向量（01, 1T.取aT2 (0,1/ 2,1/ 2)当入3=1时，解方程(E- AX=0, 由?- 1 0 0 ? ? 1 0 0?? ? ? ?A- E=? - - ? — ?0 2 2 0 1 10 2 2 0 0 0??? ?得特征向量(0- 1, 1T取a =- - T3 (0, 1/ 2, 1/ 2)于是有正交矩阵Q=(a ,a ,a )和正交变换X=QY使 1 2 3(18)(1吩),i =0,1(7分)f^^+^y2+y^B= ”该箱中恰有i个残次品(2)因为该二次型的正惯性指数为3,故该二次型为正定二次型14.解：设A= "顾客买下该箱玻璃杯”(1)由全概率公式有RQ=P(B)P(A|B) + P(B) RA| B) 0 0 1C C 2 2= X 8 + X 7 =0.8 0.2 0.95CC 2 28 8(2)由贝叶斯公式有P(B)P(A|B)RB |丹=0 00 +RB)RA|B) P(B)RA|B) o o i i——C ——=0.84 22= 20.8<8C8C C2 20.8< 8 +0.2< 7C C2 28 8(1吩)15.解：设(X,Y)的联合概率密度函数为3 2 (x y=?0 (x g? ? ??? <— X — —2dy 0 x 1€GG?2x 0 < x< 1 =??0,其他1^-1f (x)=_ f(x,ydy=? _0X-X_? Q — 」他? <同理 <1?2(-1 y 0< y< 1 =?, 其他0,Zx 0 y 1f 仰=f(xy)dx=?y Y-X?0,其他因为f(x y)*f (x)f (y),所以X,Y不独立。

X Y(7分)x? xd=• x -，3 12 2 |03 32 2 1EY= f y? - y dy= y - y = - =31 2 3 12 (1 ) ( )| 103 30exy=/ fdx2xydxdy/xydy[x2 ]ydyix0 0 0 0G1 1 11 2 4 1 ,411 2 x=/2x y | dx0202x x dx x |02 401 2 1 1CoVX,Y)= EXY EXEY - ? = w 0,4 3 3 36(1吩)故X,Y相关16.解：先求0的矩估计量dx(x ) xe e+OC - - +oo +oo二-e / xde =- e° xe - / e d ](x) [ xl -xxee e=-e0 [0- 9 e- 0 +e 卜]=-e0 [- 9 e 0 - e 0 ] e=ee 0 e 0 +e 0 = 8 +1[ ]A =X oi令 -心 =A ,则有? X 1 9= - ,(7分)即为9的矩估计量再求9的最大似然估计量似然函数为。