2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：5. 6 函数.pdf

5. 6 函数 y=A sin (s*+ 0)川川川川川I川川川川I川川川川川川川川川川“川川川川川川h 课 前 预 习 卅川川川川川川I川川川川I川川川川川“ 川川川川川川川川h最新课程标准学科核心素养1 . 结合具体实例，了解y =4s i n ( s+9 ) 的实际意义.2 .能借助图象理解参数3, < p , A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.1 . 掌握y =s i n x与y = A s i n ( g r +°) 图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤. ( 教学抽象)2 .会 用 “ 五 点 法 画 函 数 y = A s i n ( ① x +e) 的图象，借助函数图象求出函数解+析式. ( 教学运算)教材要点要 点 一A, co, 9对函数y = A s i n ( o x +0 ) 图象的影 响 对 函 数 y =s i n ( x +p ) 图象的影响3. A对函数y = A s i n ( t t w +p ) 图象的影响状 元 随 笔 ( 1 ) A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系.( 2 ) 3越大，函数图象的周期越小，3 越小，周期越大，周期与3 为反比例关系.( 3) ( p 大于0时， 函数图象向左平移， < p 小于0时， 函数图象向右平移， 即 “ 左加右减\ ” .( 4) 由y=sin x到y=sin ( x +( p ) 的图象变换称为相位变换；由y=sin x到y=sin( o x 的图象变换称为周期变换；由y =s 山x到 y = A s 加x的图象变换称为振幅变换.要点二 函数 y = A s i n ( s x +p ) , A >0 , co> 0 的有关性质1 . 定义域：R .2 .值域：.2 7 t3 .周期性：7 = 皆 .CD4 .对称性：对称中心( 咛 生，0),对称轴是直线X吟券O t ez ) .5 .奇偶性：当 9 = E ( %eZ ) 时是奇函数；当 夕 =桁 +方( Z W Z ) 时是偶函数.6 .单调性：通过整体代换可求出其单调区间.状元随笔 研究函数y = A s 加( co x +( p ) 性质的基本策略( 1 ) 借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.( 2 ) 整体思想：研究当x G [ a , 0 ] 时的函数的值域时，应将co x +( p 看作一个整体0 , 利用x G [ a , 0 ] 求出0的范围，再结合y =s 山。

的图象求值域.基础自测1 . 思考辨析( 正确的画“ J”，错误的画“ X ”)( 1 ) 把 函 数 y =s i n 2r的图象向左平移£个单位长度，得到函数y =s i n ( 2 x +1 ) 的图象 . ( )( 2 ) 要得到函数y =s i n ( —x + 学 的图象，可把函数y =s i n ( 一力的图象向左平移胃个单位长度. ()( 3) 把 函 数 y =s i n x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得 到 y =s i n 2x的图象.( )( 4) 函 数 ) ， =co s 的图象是由函数产co s x的图象向右平移1个单位长度得到的 . ( )2 .为了得到函数y =s i n ( X—即 的 图 象 ，只需把函数y =s i n x 的图象()A.向左平移; 个单位长度B .向右平移1个单位长度C.向上平移W个单位长度D.向下平移W个单位长度3 .函数y =co s 4x 的图象可由函数丁=以) §龙的图象经过怎样的变换得到( )A.所有点的横坐标为变为原来的4 倍B.所有点的横坐标变为原来的; 倍C.所有点的纵坐标变为原来的4 倍D . 所有点的纵坐标变为原来的1 倍4 . 若函数y=sin ( "求+夕) ( ①> 0)的部分图象如图，则co=“ 川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川“ 川h 丁 陶 陶 •凰5解 透t川川川"用川川卅卅"卅川卅卅川卅"N卅卅卅"川川川勿川’三角函数图象的变换角 度 1同名三角函数图象的变换例 1由函数y=sin x 的图象经过怎样的变换，可以得到函数y = 1 2 s in ( 2%一 意 +1的图象.方法")2佃三角函数图象变换的法一( 先平移后伸缩) 和法二( 先伸缩后平移) 需要注意以下两点：(1)两种变换中平移的单位长度不同，分 别 是 阳 和 ,但平移方向是一致的.(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的.角度2异名三角函数图象的变换例 2为了得到函数) ， = s in ( 2x—聿) 的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A . 向右平移差个单位长度B . 向右平移号个单位长度C . 向左平移点个单位长度D . 向左平移1 个单位长度方 法＞ )3佃不同名三角函数之间的变换方法(1)利用诱导公式，寻找不同名三角函数之间的关系，主要利用方土a 化简.(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后，再根据平移、伸缩变换，得出最终结果.跟 踪 训 练 1 (1)要得到函数y = 3 sin ( 2x+； ) 的图象，只需将函数y=3sin 2%的图象()A . 向左平移; 个单位长度B . 向右平移彳个单位长度C . 向左平移/ 个单位长度D . 向右平移得个单位长度(2)把函数y = c o s( 3%+舅的图象适当变换就可以得到y=sin (-3 外的图象，这种变换可以是( )A . 向右平移；个单位长度B . 向左平移今个单位长度C . 向右平移自个单位长度D . 向左平移合个单位长度函数y = A sin ( 5 + 9 ) 的图象角 度 1 “ 五点法' ”作图例 3作出函数y = 2 sin 七+ 袭) 的一个周期内的简图.方法拉的五点法作图五点法作函数y= 4 sin (cox+p)(xeR)图象的步豚.JT 3兀⑴列表，令 3 x + g = 0 ,], 兀 ，个 ，2兀 ，依次得出相应的( 尤，》 ) 值.(2)描点.(3)连线得函数在一个周期内的图象.(4)左右平移得到y = A sin (sx+ 9 )，x £ R 的图象.角度2由图象求三角函数的解+ 析式例 4如图所示，它是函数丫= 4 sin ( 3X+Q)(A>0, 0, 一兀< 夕< “ ) 的图象，贝 丁 该函数的解+ 析式为.方法归的根据三角函数的图象求y=A sin (cox+g)的解+ 析式(1)A: 一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|4|.2兀(2 ) (o:因为7= 高 ,所以往往通过求周期7 来确定④图象上相邻的两个对称中心间的距离为彳,相邻的两条对称轴之间的距离为J , 相邻的对称轴与对称中心之间距离为q .(3)外 ①把图象上的一个已知点的坐标代入来求.②寻找“ 五点作图法\ ”中的某一点来求，具体如下：利 用 “ 第一点”( 即图象上升时与x 轴的交点) 时，令 cox + 勿 = 0 ; 利 用 “ 第T T二点”( 即图象的“ 峰点”) 时，令 3X + 0 = 微 ；利 用 “ 第三点”( 即图象下降时与X轴的交点) 时， 令 3X + 0 = 兀： 利 用 “ 第四点”( 即图象的“ 谷点”) 时， 令 5 +(P = y : 利 用 “ 第五点V’ 时，令 5 +(p = 2兀注意：要观察题目所给图象是否适合用“ 五点作图法\ ”.JT T T跟踪训练2 (1)函数式x)=4sin(cox+ 夕)(4>0, M>0, 一] < 9 < ] , xGR)的部分图象如图所示，则函数y=/U ） 的解+ 析式为（）A. y（ x） =sinC .於 ） =cos （ x + 当D. fix）=cos⑵ 用 “ 五点法' ”作出函数） ' = 啦 sin （ 2 x + J 在［ 0 , 兀 ］ 上的图象.例 5在①人外图象过点《，1）, ②/ 年 ） 图象关于直线x = y 对称，③Ax） 图象关于点信0）对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知次x） =2sin （ ＜ yx+9） （ 0＞O, —9 ＜夕＜0） 的最小正周期为2兀 ，.（ 1） 求函数述x） 的解+ 析式；（ 2） 将 段 ） 的图象上所有点向左平移占个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的£ （ 纵坐标不变） ，得到函数丫= 8。

的图象，求 g（ x） 的单调递增区间.方 法 归他研究函数y = A s in ( ① x+ p ) 性质的基本策略( 1 ) 首先将所给函数的解+ 析式转化为y = A s in ( ① x+ p ) 的形式；( 2 ) 熟记正弦函数y = s in x的图象与基本性质：( 3 ) 充分利用整体代换思想解决问题；( 4 ) 熟记有关y = A s in ( 5 + 9 ) 的奇偶性、对称性、单调性的重要结论.7 T跟踪训练3 已知函数7 U) = A s in ( c o x+ 0 ) , x £ R ( 其中A > 0 , c o > 0 , OVg V] ) 的周期为兀，且图象上的一个最低点为M管 ，一2 ) .( 1 ) 求兀v ) 的解+ 析式；( 2 ) 当xw [ o , 时，求40的最值.易错辨析三角函数图象变换规则不清致误例 6为了得到〉 = $ 布 ；x 的图象，只需要将y = s in ( % 一 § 的图象()A.向左平移/ 个单位 B.向右平移/ 个单位C.向左平移1个单位 D .向右平移W个单位详细分析：：y = s in ( 5 一看) = s in | ( 了 一 称 ，. . . 当由〉 =5 苗&一] 的图象得丫二成! ！ g X的图象时，应该是向左平移1个单位.易错警示易错原因纠错心得错 因1 :审题不清， 没有弄清哪一个函数图象变换得另一个函数图象；错因2 ：平移的单位长度由于忽视X的系数导致错误.在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：( 1 )平移之前应先将函数解+ 析式化为同名的函数；( 2 )弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚；( 3 )平移的单位数是针对单一自变量x而言的， 不是a> x+q>中 的 心 而 是七.课堂十分钟1 .要得函数〉 = $ 万》的图象，只需将函数y = s in ( x—的图象( )A.向左平移g个单位长度B.向右平移胃个单位长度C.向左平移专个单位长度D .向右平移考个单位长度2.要得到函数产c o s ( 3》 + 号 的 图 象 ，需将函数产c o s 3 x的图象( )A.向左平移点个单位长度B.向左平移5个单位长度C.向右平移占个单位长度D .向右平移g个单位长度3 . y = / ( x)是以2 7t为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y = X x)的解+ 析式为( )A . y = 3 s in (x+ 1 ) B . y = _3 s in ( x+ 1 )C . y = 3 s in ( x—1 ) D. y=—3 s in ( x- 1 )T T4 .把函数) ，= s in x( xGR )的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍（ 纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是7 T J T5.已知函数/ （ x） = A s in （ t t ）x + 夕 ） （ A ＞ 0 , 。

＞0,一弓 ＜夕＜5 ） 的一段图象如图所示.⑴求7 U） 的解+ 析式；（ 2 ） 求7 U） 的单调减区间，并指出Z U） 的最大值及取到最大值时X的集合.5. 6 函数 y=A sin (0X+ )新知初探•课前预习要点一1 . 左 右3. A要点二2. [-A, A][ 基础自测]1 . ( 1 )X ( 2)X ( 3)X ( 4)72 .答案：B3 .答案：B4 .答案：4题型探究•课堂解透例 1详细分析：方法一 y = sin x 的图象方 法 二 y = sin x 的图象所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的2倍横坐标不变*3； = 2si n x的图象关于才轴作对称变换 „--------------------7 = - 2si n J T 的所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的4倍纵坐标不变向 右 平 移 合 个 单 位 长 度- 2si n 2 .x 的 图 象 ---------------------- a,=-2si n （ 21 r---/ ）的 图 象向 上 平 移1个单位长度 . /-----------------------► y — — 2si n I 2JC -）+1的图象.例 2 详细分析：因为 y = cos 2A- = sin （ 级 + ^ ） ，而 y = sin [2 （ x—1） + 与 =sin（ 2 x f ）, 所以y= cos2x的图象向右平移生个单位长度可得到尸sin Q一§ 的图象.答案：B跟踪训练 1 详细分析：（ l） ：y = 3 sin （ 2x+： ） =3sin 2^r+ |^ =3sin 2（ x+

g ,函数y = A si n （ ＜w x+夕 ） 的图象一般 由 “ 五点法”作出，而起始点的横坐标刈正是由（ o x o + 9 = 0解得的，故只要找出起始点的横坐标M ） ,就可以迅速求得角0 .由图象求得3 =1 , X o =甘，9 = —0必= 一| x （一 ?" . 该函数的解+ 析式为y = 2si n停工+ 鼻）.解 法 四 （ 图象平移法） 由图象知，将函数y = 2si n 2 的图象沿x 轴向左平移F7 1个单位长度， 就得到本题的图象， 故所求函数的解+ 析式为y = 2si n ［ 翡 十 3 ］， 即y = 2si n 6r+ g .答案：y = 2si n & +5 ）跟踪训练2详细分析：（ 1 ） 由图象得A = l, { =y - j , 所 以 T = 2 n , 则 o= l.将点怎，1 ）代入函数段） 解+ 析式得si n （ 袭+ 0 ）= 1 ，又一与〈 片，所以94，因此函数y （ x） = si n （ x+ § . 故选 B .（ 2） 列出x, y的对应值表：描点，连线，如图所示.X三-883兀T5兀T7 兀T2x+ ：07 T2兀3兀T2兀y0也0一 也0答案：（ 1 ） B （ 2） 见解+析例 5详细分析：若选①：（ 1 ） 由已知得= 2 兀 ，则 。

1 ,于是 « x） = 2si n （ x + 9 ）因为外 ） 图象过点（ 率 1 ）,所以si n 仁 + 8, 即 c os 9 =T ，IT 7T又因为一5 < 3< o,所以勿= 一 ? ,故 於 ) = 2s in (l1).( 2) 由已知得 g ( x ) =2s in ( 2x -/ ，于是 2 E—5 < 2x —£ < 2% 兀+ 1 ,解得kn—^ 4WE+寿 ,O O故 g （ x ） 的单调递增区间为［ 也 一7T " E+引57r（ MZ） .若选②：⑴ 由已知得，T=~ = 2 兀 ，则 co=\9于是 7 U ） =2s in （ x + p ） .因为« x ） 图象关于直线工 =空 对称，所以争+ 勿=% 兀+， ,即 0 = 4 兀一季（ A £ Z ）I T 7 T又因为一］ ＜ 夕 ＜ 0 ,所以0 = 一5 ,故 _ / ( x ) =2s in ( % 一袭) .( 2) 由已知得 g ( x ) =2s in ( 2x —今)由 2 E—］ W 2x —专 ,即 24 碧 .故 g （ x ） 的单调递增区间为［ % 兀一翁，E+翁（ Z W Z ） .27r若选③：（ 1 ） 由已知得T = 京 = 2 兀 ，则①=1 ,于是於） =2s in （ x + （p） .因为於） 图象关于点（ 去 O ）对称，所以1+ （p = k7 t,T T T T即 0 = E一d （ A W Z ） ,又因为一］＜ ”0,所以夕=一事，故火x ） =2s in Q一季 ）.（ 2） 由已知得 g （ x ） =2s in （ 2 x - § ,■ J I J I 兀由 2 E—5 W 2x —瓦 W2 E+5 ,攵 £ Z ,即 ^7 1 -2 44 W k7 1 + 胃故 g （ x ） 的单调递增区间为［ e -符 ，航 +工 （ 4 e z ） .跟踪训练3详细分析：（ 1 ） 由函数y （ x ） 图象上的一个最低点为M停 ,由周期丁=兀，得 3 = 笔 = ——2 .1 兀一2）,得 A=2.由点M管 ，-2 )在图象上，得 2s in 售 +， = —2,即 s in 停 +0 )= -1 ,4 元 7 T所以可 + 9 = 2 阮一］( A6 Z ) ,1 1 T F故(p = 2kit—— ^~ (kGZ),又 9G( 0, & ,T V所以 k = \,(p=% ,所以函数的解+ 析式为兀c ) =2s in ( 2x + / .JI( 2) 因为 x e ［ 0, y 5 J )所“ 以t、 i 2八x +,d7 C q「亨兀 T3t J ,所以当2x+l =1 ,即x= o 时，函数y ( x ) 取得最小值i；i , - . 7 1 7 1当 2x + d = 3 ，即》 = 今 时，函数y ( x ) 取得最大 值 小 .［ 课堂十分钟］1 .答案：A2 .答案：A3 .答案：D4 .答案：y =s in ( 2x + §5 .详细分析：( 1 ) 由图象可以得到函数# 外的振幅A = 3,3 7 1 1 5 7 r 2设函数周期为T ,则 ;7 = 4 % 一 京 = 詈 ，所以7 = 5 兀，则3 稳,2 兀 兀由3期+ 夕=0 ,得§ + 夕 =0 ,所以° =一 而 ，所 以 / ) =3s in (|L总.( 2) 由3 + 2/ 兀 ＜ ］X—W与 + 2 E ( % e z ) , 得手 +5E«4兀 + 5 E ( k G Z ) ,所以函数的减区间为- 3兀5 ~+ 5 E , 4兀+ 5 E , k eZ .函数兀0的最大值为3 ,当且仅当| x —%= ；+ 2E , k w z ,即 》 = 苧+ 5 h t ( k G Z )时函数取得最大值.所以函数的最大值为3 ,取得最大值时的x的集合为卜卜= 苧 +5 %兀( AG Z ) }.。