最新人教版八年级数学下册第16章全章教案.docx

16.１ 二次根式第1学时　二次根式的概念１.能用二次根式表达实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性;(难点)2．能根据算术平方根的意义理解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范畴.(重点) 　　　 　　　　　　 　　　一、情境导入问题1:你能用带有根号的式子填空吗？（1)面积为3的正方形的边长为__＿＿＿___,面积为S的正方形的边长为＿_＿_____．(2）一种长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130m２,则它的宽为_____＿__m．(３)一种物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：ｓ)与落下的高度h（单位：m)满足关系h=5t2，如果用品有h的式子表达t,则ｔ=＿___＿_.问题2:上面得到的式子，,,分别表达什么意义？它们有什么共同特性?二、合伙探究探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式,哪些不是二次根式?(1);（2)；(3)；(4）；（5);(6)(ｘ≤3);(7)（ｘ≥0)；（8）；(9）;(10)(aｂ≥０）．解析:要判断一种根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数.解：由于,,＝,(x≤3)，,(ab≥０)中的根指数都是2,且被开方数为非负数，因此都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0),的被开方数不不小于0，因此不是二次根式.措施总结：判断一种式子是不是二次根式，要看所给的式子与否具有如下条件:(１)带二次根号“”；(２）被开方数是非负数．探究点二:二次根式故意义的条件【类型一】 根据二次根式故意义求字母的取值范畴 求使下列式子故意义的x的取值范畴.（1);(2)；（３).解析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数不小于或等于0且分母不等于0,列不等式(组）求解.解：(1）由题意得４－3x>0,解得x＜.当x<时,故意义;(2)由题意得解得ｘ≤3且ｘ≠2.当ｘ≤3且x≠2时,故意义;(3）由题意得解得x≥-５且ｘ≠０.当ｘ≥－5且ｘ≠0时，故意义．措施总结:含二次根式的式子故意义的条件:(1）如果一种式子中具有多种二次根式,那么它们故意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；（2)如果所给式子中具有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.【类型二】 运用二次根式的非负性求解 (1)已知a、b满足+|b－|=0，解有关x的方程(a+2)x+b２＝a-1;(２)已知x、y都是实数，且y=+＋4，求yx的平方根．解析:(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2）根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得ｙ的值,进而可求出yx的平方根.解：(1)根据题意得解得则(a+2)ｘ＋b2=a-1，即－２x+3＝－5,解得x=4;(２）根据题意得解得x＝3．则ｙ=４，故ｙx＝43＝６４，±＝±8，∴yx的平方根为±8.措施总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几种非负数的和为0，这几种非负数都为0．探究点三:和二次根式有关的规律探究性问题 先观测下列等式，再回答问题.①＝1+－＝1；②＝1＋-=1;③＝1＋-＝１.(1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出的成果；(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表达的等式（n为正整数).解析：(１）从三个等式中可以发现,等号右边第一种加数都是１,第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1,成果是一种带分数,整数部分是１,分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；（2)根据(1）找的规律写出表达这个规律的式子.解:(１)=1+－=1;(2)=１+－=1（n为正整数)．措施总结:解答规律探究性问题,都要通过仔细观测找出字母和数之间的关系,通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表达出来.三、板书设计１.二次根式的定义一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2.二次根式故意义的条件被开方数(式)为非负数；故意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比,随后由学生熟悉的实际问题出发,用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要,体会到数学与实际生活间的紧密联系,以此充足激发学生学习的爱好．ﻬ第2学时　二次根式的性质1.经历二次根式的性质的发现过程,体验归纳、猜想的思想措施；(重点)2．理解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.(重点，难点) 　 　　　　 　 　一、情境导入等于什么?我们不妨取a的某些值,如2，-２，3，－３，…分别计算出相应的的值,看看有什么规律.=＝２；＝=２;＝＝3；==3；…你能概括一下的值吗？二、合伙探究探究点一：二次根式的性质【类型一】 运用=|a|、()2=a进行计算 化简：(1)()2；（2)；(3);(4)(－)２.解析:根据二次根式的性质进行计算即可．解:(１)()2=5;(2）＝5；（3)＝5；(4)(－)２＝5.措施总结：运用=|ａ|进行计算与化简,幂的运算法则仍然合用，同步要注意二次根式的被开方数要为非负数.【类型二】　（）2=a（ａ≥0）的有关应用　在实数范畴内分解因式．（1)a2－1３;(2)４a2-５;（3)x4-4x２＋4.解析:由于任意一种非负数都可以写成一种数的平方的形式,运用这个即可将以上几种式子在实数范畴内分解因式．解:(1）a2－13=a2－()２＝(a＋)(ａ-）;(2)4a２-5＝（2a)2－()2=(2a＋)(2ａ-)；(3)x４-4x2+4＝(ｘ2-2)2=[(x+)(x-)］2＝（x+)2(x-）2.措施总结：某些式子在有理数的范畴内无法分解因式,可是在实数范畴内就可以继续分解因式.这就需要把一种非负数表达到平方的形式．探究点二:二次根式性质的综合应用【类型一】 结合数轴运用二次根式的性质求值或化简 已知实数ａ，b在数轴上的位置如图所示，化简：+２-|a-b|.解析:根据数轴拟定ａ和ｂ的取值范畴，进而拟定ａ+1、b－１和a－ｂ的取值范畴，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解.解：从数轴上a，ｂ的位置关系可知－２＜a＜－1，1ａ，故a+1<0，b－1>０，a－b<0.原式=｜ａ＋1｜＋2|ｂ－１|-|a－b|＝-(a+1)+２（ｂ-1）＋(a－b)＝b－3．措施总结:结合数轴运用二次根式的性质求值或化简,解题的核心是根据数轴判断字母的取值范畴和纯熟运用二次根式的性质．【类型二】　二次根式的化简与三角形三边关系的综合 已知ａ、ｂ、c是△ABＣ的三边长，化简-+.解析:根据三角形的三边关系得出ｂ＋c＞ａ,ｂ＋a>c.根据二次根式的性质得出具有绝对值的式子,最后去绝对值符号合并即可.解:∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b+c>a,b+a＞c，∴原式=｜a＋ｂ＋ｃ|-|ｂ＋ｃ－a｜＋|c-b－a|=a＋b+c-（b＋c-ａ)＋(b+ａ-c）＝ａ+ｂ+ｃ-b-c＋a+b＋a-c=３ａ＋b-ｃ.措施总结:解答本题的核心是根据三角形的三边关系得出不等关系,再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．【类型三】　运用分类讨论的思想对二次根式进行化简　已知x为实数时，化简＋.解析：根据=|a|,结合绝对值的性质,将x的取值范畴分段进行讨论解答.解：+=＋＝|ｘ-1|+|ｘ|.当ｘ≤0时,x－1＜0,原式=１－x＋(-x）=1－2x；当0＜x≤１时,x－1≤0,原式＝１-x+x=1；当x＞1时,x-１>0,原式＝x－1+x=2x-1.措施总结：运用二次根式的性质进行化简时,要结合具体问题，先拟定出被开方数的正负,对于式子=|a|,当ａ的符号无法判断时,就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏.【类型四】 二次根式的规律探究性问题 细心观测，认真分析下列各式,然后解答问题．()２+１=2,S1=，（）2＋1=3,Ｓ２=，(）2＋1=4，Ｓ3＝.(1)请用含n(ｎ是正整数）的等式表达上述变化规律;(2)推算出OＡ10的长；(3)求出S+S＋S+…+S的值.解析:运用直角三角形的面积公式,观测上述结论，会发现第ｎ个三角形的始终角边长就是,另一条直角边长为1，然后运用面积公式可得.解：(1)()2＋1＝n＋1,Ｓn=(n是正整数)；（2）∵ＯA１=,OA2＝，OA3＝，…∴ＯA10＝;(3)S+S+Ｓ+…+S＝++＋…+=(１+２＋３＋…＋１0)=.措施总结:解题时通过度析找到各部分的变化规律后直接运用规律求解.探寻规律要认真观测、仔细思考，善用联想.探究点三：代数式的定义及简朴应用 按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是______＿___＿_．→→→→→解析：根据程序所给的运算，用代数式表达即可,根据程序所给的运算可得输出的代数式为-n.故答案为－n.措施总结:根据实际问题列代数式的一般环节：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中多种数量的关系;(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计１．二次根式的性质1：（)2＝a(a≥0);2．二次根式的性质2：＝ａ(ａ≥０)．3.代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号涉及加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表达数的字母连接起来的式子叫做代数式.新的教学理念规定教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习,在课堂教学中,对学生摸索求知作出了引导,并且鼓励学生自由发言,但在师生互动方面做得还不够，小组间的合伙不够融洽,此后的教学中应多培养学生合伙交流的意识，这样有助于她们此后的学习和生活．1６.2　二次根式的乘除第１学时 二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质;（重点）２.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)　 　 　 　 　　 　一、情境导入计算:(1）×与;(2)×与.思考:对于×与呢?从计算的成果我们发现×＝,这是什么道理呢？二、合伙探究探究点一:二次根式的乘法【类型一】　二次根式的乘法法则成立的条件　式子·=成立的条件是(　 ）A．x≤2 B.ｘ≥-１Ｃ．-１≤x≤2　 D．-１<ｘ＜2解析:根据题意得解得－１≤x≤２.故选C．措施总结：运用二次根式的乘法法则:·=(a≥0,ｂ≥0）,必须注意被开方数均是非负数这一条件.【类型二】 二次根式的乘法运算 计算：(１）×；（２)×;(3)6×(－3);(4)·.解析:有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样合用,计算时注意最后成果要化为最简形式．解：（1)×＝＝；(2)×＝＝=4；（3)6×(-3)＝-１8＝-１8＝－18×9=－16２；(４)·=－··=－·=－·6b=－.措施总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数,如果被开方数有能开得尽方的因数或因式,可先将二次根式化简后再相乘.探究点二:积的算术平方根的性质　化简：(1）;（２);(3).解析：重要运用公式＝·(a≥０，ｂ≥0)和=ａ(a≥0）对二次根式进行化简．解：(1)=＝=××=６×4×３=72；(2)＝==×=1２×５=6０;(3）＝=·=|x+3y|．措施总结:运用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.探究点三:二次根式乘法的综合应用。