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厦门大学 2012 数学分析考研 1 设 n x为有界正实数列 求 lim 21n n n xxx x 见 08 年第二题 2 设RRxg 满足 lim 0 ufuxg x 在 0 uu 处连续 证明 lim 0 ufxgf x 见 08 年第三题 3 设 xf在 非恒为 0 存在任意阶导数 并且对任何 x都有 2 1 1 n xfxf nn 3 2 1 n 证明 lim xn n Cexf 其中C为常数 见 08 年第四题 4 设函数 yxzz 具有二阶连续偏导数 满足方程 2 2 2 2 xy z y z y 求证在变换 yxzwxv y x u 之下 上述房车将变为0 2 2 u w 证明 由上我们可知 x yw z 关于y求偏导 xy w w y x w x z u vuy 1 10 1 22 继续对y求其偏导 32 2 2 y w y y x w z u uu yy 将上述结果代入 2 2 2 2 xy z y z y 得 xxy w y w y xw y uuuu 2 1 2 2 234 所以 0 0 00 3 yxw y xw uu uu 5 函数 xf和函数 xg在ax 时可导 并且在ax 时满足 xgxf 求证 当ax 时 不等式 agxgafxf 证明 由 xgxf 可知0 xg 所以 xg在ax 是单调递增 要证上述不等式 即证 agxgafxf 即证 agxgafxfagxg 0 1 设 agafxfxgxF 求导得 xfxgxF xgxf 所以 xgxfxg 0 xfxg 所以 0 axxF 又0 aF 当ax aFxF 即 agxgafxf 这就证明了右边的不等式 0 2 设 agafxgxfxG 0 xgxfxG 所以 xG是单调 递增函数0 0 GxG 即 afxfagxg 证毕 6 设 21 aa为正实数列 定义 n aaa s n n 21 n aaa r n n 11 2 1 1 其中 n n s lim 与 n n r lim均存在 证明这两个极限之积不小于 1 证明 2 1 0 0niai 运用均值不等式我们可得 n n n n aaa n aaa s 21 21 n n n n aaan aaa r 1 11 21 11 2 1 1 1 11 11 n aa n aa nn 因为两极限都存在 所以 nnnn n n n rsrs limlimlim 对 上述的不等式两边取极限 即 1 limlimlimlim 11 121 n aa n aaa rsrs nn n nnnn n n n 问题得证 7 设D是 2 R中的闭圆盘 f是定义在D上的实函数 证明若0 2 D dxdyyxf 则f 在D中的连续点上的取值为零 证明 见 08 年第 5 题 8 设 n na收敛 级数 1 1 n nn aan收敛 证明 1n n a也收敛 证明 见 08 年第 6 题 9 证明下列等式 cos 1 cos 1 1 2 dukuudxdydzczbyax V 其中 1 222 zyxV为单位球 cba 为常数 证明 见 08 年第 7 题 。