333最大值与最小值（平行班用）.ppt

高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 选选选选选选修修修修修修1-11-11-11-11-11-13.3.33.3.33.3.33.3.3 最大值与最小值最大值与最小值最大值与最小值最大值与最小值　　一般地，设函数　　一般地，设函数y＝＝f(x)在在x＝＝x0及其附近有定义，及其附近有定义，如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们附近所有各点的函数值都大，我们就说就说f(x0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值，记作，记作y极大值极大值＝＝f(x0) ，，x0 0是极大值点．是极大值点．如果如果f(x0)的值比的值比x0 0附近所有各点的函数附近所有各点的函数值都小，我们就说值都小，我们就说f(x0)是函数的一个是函数的一个极小值．极小值．记作记作y极极小值小值＝＝ f(x0) ，， x0 0是极小值点．是极小值点．极大值与极小值极大值与极小值统称为统称为极值极值. . 一、函数极值的定义一、函数极值的定义知知 识识 回回 顾顾1 1．．在在定定义义中中，，取取得得极极值值的的自自变变量量称称为为极极值值点点，，极极值值点点是是自自变变量量( (x) )的的值值，，极极值值指指的的是是函函数数值值( (y) )．．注　意注　意2 2．极值是一个．极值是一个局部局部概念，极值只概念，极值只是某个点的函数值与它是某个点的函数值与它附近点附近点的函的函数值比较是最大或最小数值比较是最大或最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大着它在函数的整个的定义域内最大或最小．或最小．3 3．函数的．函数的极值不是惟一极值不是惟一的，即一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．值或极小值可以不止一个．4 4．极大值与极小值之间无确定的大小关．极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的系，即一个函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值，，如下图所示，如下图所示， 是极大值点，是极大值点， 是极小值是极小值点，而点，而 （（3 3））用用函函数数的的导导数数为为0的的点点，，顺顺次次将将函函数数的的定定义义区区间间分分成成若若干干小小开开区区间间，，并并列列成成表表格格．．检检查查f  (x0)在在方方程程根根左左右右的的值值的的符符号，求出极大值和极小值．号，求出极大值和极小值．二、二、 求函数求函数f( (x) )的极值的步骤：的极值的步骤：（（1 1）求导数）求导数f  (x0)；；（（2 2）求方程）求方程f  (x0) ＝＝0的根；的根；注意：注意：如果函数如果函数f( (x) )在在x0处取得极值，处取得极值，意味着意味着一、最值的概念一、最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) )新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x0 0, ,使使得对任意的得对任意的x∈∈I, ,总有总有f( (x) )≤≤ f( (x0) ), ,则称则称f( (x0) )为函数为函数f( (x) )在定义域上的在定义域上的最大值最大值. .最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. .1.1.在定义域内在定义域内, , 最值惟一最值惟一; ;极值不惟一极值不惟一; ;注意：注意：2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. . x1 x2 x3 b x y a O [a，，b]二二. .如何求函数的最值如何求函数的最值? ?（（1 1）利用函数的单调性）利用函数的单调性; ;（（2 2）利用函数的图象；）利用函数的图象；（（3 3）利用函数的导数．）利用函数的导数．如：求如：求y＝＝2x＋＋1在区间在区间[1，，3]上的最值．上的最值．如：求如：求y＝＝(x－－2)2＋＋3在区间在区间[1，，3]上的最值上的最值. . （（2 2））将将y＝＝f( (x) )的的各各极极值值与与f( (a) )、、 f( (b) )比比较较，，其其中中最最大大的的一一个个为为最最大大值值，，最小的一个为最小值．最小的一个为最小值． （（1 1）求）求f( (x) )在区间在区间(a，，b)内极值内极值（极大值或极小值）．（极大值或极小值）． 利用导数求函数利用导数求函数f( (x) )在区间在区间[a，，b]上最值的步骤：上最值的步骤：例例1 1　　求函数求函数f(x)＝＝x2－－4x＋＋3在区间在区间[ [－－1 1，，4]4]内的最大值和最小值．内的最大值和最小值． 解：解： f  (x0) ＝＝2x－－4，，令令f  (x0) ＝＝0，即，即2x－－4＝＝0，，得得x＝＝2．．x－－1 1（－（－1 1，，2 2））2 2（（2 2，，4 4））4 40 0－－＋＋8 83－－1 1 　　故故函函数数f(x)在在区区间间[ [－－1 1，，4]4]内内的的最最大大值为值为8 8，最小值为－，最小值为－1. 1. 例例2　求　求f(x)＝＝ x＋＋sinx 在区间在区间[0，，2 π]上的最值．上的最值．解　函数解　函数f(x)的最大值是的最大值是π ，， 最小值是最小值是0．．延伸延伸1:设设 ,函数函数 的最的最 大值为大值为1,最小值为最小值为 ,求常数求常数a,b. 解解:令令 得得x=0或或a.当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a) a(a,1) 1f’(x) +0 - 0 +f(x)-1-3a/2+b ↗ ↗b ↘ ↘-a3/2+b ↗ ↗1-3a/2+b由表知由表知,当当x=0时时,f(x)取得极大值取得极大值b,而而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比较故需比较f(1)与与f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以所以f(x)的最大值为的最大值为f(0)=b,故故b=1.又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以所以f(x)的最小值为的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以所以求下列函数在给定区间上的最大值与最小值练习1 函数函数 ，在，在［－［－1 1，，1 1］上的最小值为］上的最小值为__________．．练习练习练习练习2:求函数求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间在区间[-3,4]上的最上的最 大值和最小值大值和最小值.答案答案:最大值为最大值为f(4)=142,最小值为最小值为f(1)=7.3．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值4.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f (x) ( )A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能课后作业：课后作业：课本第课本第91页练习第页练习第2，，3，，4题．题．。