昆明理工大学高数b复习题试题.doc

1习题六（A）4． 求通过点（1,1,-1） ， （-2,-2,2） ， （1,-1,2）的平面方程解：设所求平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0（A，B，C 不全为 0） ，则 20320显然 C≠0，消去 C 并整理可得所求的平面方程为 32xyz5．求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1） ； （2） ；yxz 2ln(1)zx（3） ； （4） ；22arcsin()ln(104)xy24l()y（5） ； （6） ．2l()zyx 2arcsinrsi(1)xzyy注意：通过不等式或不等式组画定义域时，可以将不等式先变成等式，求出其边界方程，再确定定义域在边界的哪一边解：（1）由 ，得 ，即 0xy0xy2xy故所求定义域为 2(,),（2）由 ，得所求定义域为 210yx2(,)10xyx（3）由 ，得 ，即 2ln(4)y21042149yx故所求定义域为 。

2, 9xxy且（4）由 ，得 201y2y2故所求定义域为 22(,)41xyxy且（5）由 ，得 201xy201xy故所求定义域为 2(,)且 且（6）由 ，得 ，即 201y220yx220yx故所求定义域为 22(,)xyxy且6．设 ，并且已知 时 ，试求 及 的表达式．31zf1zx()fz（设 ，已知 ，求 及 的表达式． ）(,)()Fxyx(,)F,Fxy解：由 时 ，得 ，即 z3fx3(1)f代人 ，得 3(1)yfx1zy令 ，则 代人 ，得 3u3u3()fx3()1fu因此 ，即 3()fx2)f7．设函数 ，试求：（1） ； （2） ．2,yxy1(,)fxy(,)xfy解：由 ，可得3(,)f（1） ，即 ；2213()xyxy324(,)fxyxy（2） ，即 .32(,)(f3,)xf y8．证明下列函数是齐次函数，并指明各是几次齐次函数：提示：设二元函数 z = f (x,y) 的定义域为 D，当 (x,y)∈ D 时，对任意实数 t 有 ( tx, ty) ∈D。

如果存在常数 k，使对任意的(x,y)∈D ，恒有 f (tx, ty) = t k f (x,y)，则称为 z = f (x,y) 3二元 k 次齐次函数方法：由 f (x,y)得 f (tx, ty)，如果 f (tx, ty) = t k f (x,y) ，那么 f (x,y) 是二元 k 次齐次函数，否则 f (x,y) 不是二元 k 次齐次函数例如：设 ，求得xy22222(,)()()(,)ftxytttxytfxy所以 f (x,y) 是二元 2 次齐次函数1） ； （2） ；2sin322(,)5fy（3） ； （4） ； 32(,)xyfy 8,yxfe（5） ．2(,)lnxfy解：（1） 22,()sin(sin)(,)txftxt ytfyQ∴f (x,y) 是二元 2 次齐次函数2） 3223223,)()5()(5)(,)fttxtytxtxytfxy∴f (x,y) 是二元 3 次齐次函数3）3322(), (,)ttft tfxyxyxQ∴f (x,y) 是二元 1 次齐次函数4） 888,)((,)tyyxxftetf∴f (x,y) 是二元 8 次齐次函数。

5）220(),)lnln(,)tytyxft tfyxQ∴f (x,y) 是二元 0 次齐次函数9．设函数 ，求 ．21(,)yfx(,)fxy4解：令 ，则 ，代入已知等式，得1,uvxy1,xyuv221(),uvfv因此， ．2(,)xyf10．求下列极限：（1） ； （2） ；131lim(2)xyxy 228lim()sinxyxy（3） ； （4） ．01lisnxye01lixy注意：求二元函数极限时，要适当运用一元函数求极限的方法解：（1） 2113311lim()li()xy xyxy 1313limlim()xyxy ，13e（2） 2228sin8lim()sinlmx xy yy280sinlm8uxyu（3） 00001111lilililisnsnssxyuuxyuxyxy ueeee（4）2000()11limlilim20xx xyy y补充：（1） ； （2） ；2(,)2,1liarctn()xy(,)0,li4xyxy5（3） ； （4） ．(,)2,0sinlmxy 2(,)0,1cos()limxyxye解答：（1） 22(,),1liarct()arctn(1artn4xyxy（2） 2(,)0, (,)0, (,)0,4lili li2)4)xy xy xyx4（3） （ ）(,)2,0(,)2,0sinsinlmlixyxyxy(,)2,0sinlimlxyu21（4） 2 2(,)0, (,)0,(,)0,1co1co()li lili()xyxyxy xyee（ ）20(,)0,sinlim()xyey2(,)0,sinlmxyy2220sin1lmxyuu11．证明：当 时， 的极限不存在。

),24xy注意：二元函数极限存在时，应该能按任何路径趋于同一确定极限，否则二元函数极限不存在证：令动点 P (x, y)沿直线 趋向原点（0,0） ，则有kx，224422(,)0, 000limlilimxyxxkkk 令动点 P (x, y)沿抛物线 趋向原点（0,0） ，则有2，2424(,)0, 001lilili()2xyxx由此可见，当点沿不同路径趋向原点时，函数趋向不同的值，因此该二元函数的极限不存在补充：证明极限 不存在24(,)0,limxy证：令动点 P (x, y)沿直线 趋向原点kx（0,0） ，则有6，222244(,)0, 00()0limlilim1xyxxkk 令动点 P (x, y)沿抛物线 趋向原点（0,0） ，则有，22244(,)0, 000()1lilililixyxxx由此可见，当点沿不同路径趋向原点时，函数趋向不同的值，因此该二元函数的极限不存在12．指出下列函数的间断点或间断曲线：注意：对于初等多元函数来说，间断点必是没有定义的点例如初等二元函数 2sin1),( yxyxf 其间断点为原点(0,0)及直线 上的所有点。

除了这些点外，函数 f (x, y)都是连续的1yx补充：（1） ； （2） ．3zyxzsin解答：（1） 的间断点为3yx(,)0（2） 的间断点为zsin1 (,),,,12,xyklklL习题六（A）27. 比较下列二重积分的大小：(1) 与 ，其中 D 是三角形区域，2sinDIxydlnDxyd2lnDxyd三顶点分别为 ;(,0)1,(2)(2) 与 ，其中 D 是矩形闭区域： ， .lDxy2lDxy 53x10y28. 估计下列积分的值(1) ，其中 D 是矩形闭区域： ， ;2sinDId x0y7(2) ，其中 .()DIxyd }10,),{(yxyD29. 分别对下列积分区域将二重积分 按两种次序化为累次积分：Ifd(1) D 由 所围成；22yxy和解：D 是由抛物线 所围成的平面闭区域，如图 29-1，22x和解方程 得交点2yx(0,)1，将积分化为先 y 后 x 的二次积分，得210()()xDfdfyd， ，将积分化为先 x 后 y 的二次积分，得.210()()yDfdfxd， ，(2) D 由 及 所围成；23yxx解：D 是由曲线 及园 所围成的平面闭区域，232y解方程 得交点2+yx(0,)1(,)， ，将积分化为先 y 后 x 的二次积分，由 D：x : -1→1， 得232:yx231()()xDfdfd， ，将积分化为先 x 后 y 的二次积分，由 得12， 2233 221:0::12:xyDyxyy： ， ； ： ，.2 231 20 1()()()y yDfxydfdxfd， ， ，xyO 2yxyx11图 29-18(3) D 由 所围成；123yxxy， ， 及解：解方程 、 、 得交点yx1y2x(0,)12(,)， ，将积分化为先 y 后 x 的二次积分，由 得12D， 1 211:0:::322yxDxyx： ， ； ： ，1 31022()()()x xDfxydfydfd， ， ，将积分化为先 x 后 y 的二次积分，由 得12， 1 21:0:::3xyDyxy： ， ； ： ，.12310 2()()()y yDfxydfdxfd， ， ，(4) D 由 所围成；cosx， ， 及解：解方程 、 、 得交点1yxcos2y1y(0,),1(,)2， ，将积分化为先 y 后 x 的二次积分，由 D： 得:0:cos2xyx；120cos()()xDfdfd， ，将积分化为先 x 后 y 的二次积分，由 得12， 1 2:0:cos1:1:2xaryDyxy： ， ； ： ，.1 1220cos()()()yar yDfxydfxdxfd， ， ，30. 交换下列积分次序： (1) ；0(,)ydfx9解：由题设二次积分的积分限： 得 D：01yxy， 201xyx，所以 21100(,)(,)yxdfxdf(2) 2,x解：由题设二次积分的积分限： 21+xyx，解方程 、 、 、 得交点201+xy2y0(0,1)2(,0)1， ， ，得 12D， 2:::1:xyDxy： ， ； ： ，所以 1 100(,)()()x ydfydfdfd， ，(3) 211ln,,ex xfy解：由题设二次积分的积分限： 21 21ln1DxyDxey： ， ； ： ，得 。

12D解方程组 得交点 ，2xy(1,)故 D 可改写为 ， 34D3 4:0:1:01:yyxyDyxe： ， ； ： ，所以 21 10 ln10(,)(,)()()ye ex x ydfydfdfxdfd ， ，(4) 243530, ,y y解：由题设二次积分的积分限：得 解方程21 2055DyxyDyxy： ， ； ： ， 12D得交点 ，43x(,3)故 可改写为：12、 21 23040535xyxyx： ， ； ： ，所以 2 2435 43。