材料力学：弯曲应力.ppt

弯曲应力弯曲应力北方交通大学北方交通大学16 九月九月 2024 主要内容及重点：主要内容及重点：纯弯曲的特性纯弯曲的特性弯曲正应力弯曲正应力弯曲剪应力弯曲剪应力提高梁抗弯强度的措施提高梁抗弯强度的措施mmF FS SM横向外力作用于梁上时，其横截面上通横向外力作用于梁上时，其横截面上通横向外力作用于梁上时，其横截面上通横向外力作用于梁上时，其横截面上通常既又弯矩常既又弯矩常既又弯矩常既又弯矩MM，，又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S. . . .F FS Smm Mmm 与正应力有关的法向内力元素与正应力有关的法向内力元素与正应力有关的法向内力元素与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N = =     d dA A可合成弯矩可合成弯矩可合成弯矩可合成弯矩M ，无法合成成，无法合成成，无法合成成，无法合成成剪力剪力剪力剪力F FS S 与切应力有关的切向内力元素与切应力有关的切向内力元素与切应力有关的切向内力元素与切应力有关的切向内力元素d dF FS S = =     d dA A 可合成可合成可合成可合成剪力剪力剪力剪力F FS S ，，，，无法合成弯矩无法合成弯矩无法合成弯矩无法合成弯矩M 。

结论：结论：结论：结论：梁的横截面上一般梁的横截面上一般梁的横截面上一般梁的横截面上一般既有正应力既有正应力既有正应力既有正应力，，，，又有切应力又有切应力又有切应力又有切应力正应力正应力正应力正应力   切应力切应力切应力切应力   应力应力应力应力剪力剪力剪力剪力F FS S弯矩弯矩弯矩弯矩MM1.1.纯弯曲纯弯曲 纯纯弯弯曲曲( (pure pure banding)banding) －－梁梁的的横横截截面面上上只有弯矩一个内力分量只有弯矩一个内力分量梁的横截面上只有垂直于横截面的正应力梁的横截面上只有垂直于横截面的正应力  横横力力弯弯曲曲( (transverse transverse bending)bending) －－横截面上同时产生剪力和弯矩横截面上同时产生剪力和弯矩梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力 弯曲试验与假设弯曲试验与假设弯曲试验纯弯曲的特性纯弯曲的特性试验现象 横线为直线横线为直线, 仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短靠顶部纵线缩短, 靠底部纵靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区纵线伸长区, ,截面宽度截面宽度减小减小 纵线缩短区纵线缩短区, 截面截面宽度宽度增大增大弯曲假设 横截面横截面变形后变形后保持平面，仍与纵线正交－保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设弯曲平面假设 各纵向各纵向“纤维纤维”处于单向受力状态处于单向受力状态－－单向受力假设单向受力假设（纯弯与正弯矩作用）（纯弯与正弯矩作用）纯弯曲的特性纯弯曲的特性中性层中性轴中性轴受压区受拉区纵向纤维既不伸长也不缩短的层纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层中性层中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线—中性轴中性轴横截面间绕中性轴相对转动横截面间绕中性轴相对转动中性轴中性轴⊥⊥截面纵向对称轴截面纵向对称轴应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式变变变变 形形形形应变分布应变分布应变分布应变分布拉压、扭转时横截面上应力分析过程拉压、扭转时横截面上应力分析过程 物理关系物理关系物理关系物理关系平面假定平面假定平面假定平面假定静力方程静力方程静力方程静力方程2.2.纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何方面几何方面:物理方面物理方面:静力学方面静力学方面:(a)(b)中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心(a)(d)(e)(a)－－抗弯截面系数抗弯截面系数(e)－－惯性矩惯性矩(c)：：y轴为对称轴，成立。

轴为对称轴，成立（（（（1 1）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdyzy（（（（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M 分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式平面假设不再成立平面假设不再成立3.3.横力弯曲时梁横截面上的正应力横力弯曲时梁横截面上的正应力当：当：纯弯曲的正应力计算公式纯弯曲的正应力计算公式计算横力弯曲梁横截面上的正应力计算横力弯曲梁横截面上的正应力误差不超过误差不超过1%1%。

结论结论中性轴过截面形心中性轴过截面形心 中性轴位置：中性轴位置： 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率：, 对称弯曲对称弯曲, 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 应用条件：应用条件：总总 结结假设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面综合考虑三方面一些易混淆的概念 对称弯曲－对称截面梁，在对称弯曲－对称截面梁，在纵向纵向对称面承受横向对称面承受横向外外 力力时的受力与变形形式时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲－梁或梁段各曲－梁或梁段各横截面横截面的的剪力剪力为零为零弯矩弯矩为常为常 数的受力状态数的受力状态 中性轴－中性轴－横截面横截面受拉与受压区的分界线受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的形心轴－通过横截面形心的纵向纵向坐标轴坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲－代表梁截面抵抗弯曲变形变形的能力的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz－－代表梁截面几何性质对弯曲代表梁截面几何性质对弯曲强度强度 的影响的影响中性轴与形心轴中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲 截面弯曲刚度与抗弯截面系数截面弯曲刚度与抗弯截面系数课堂讨论：课堂讨论：下列说法是否正确？下列说法是否正确？纯弯曲时，不论材料是否处于弹性阶纯弯曲时，不论材料是否处于弹性阶段，变形后横截面保持平面。

段，变形后横截面保持平面纯弯曲时，梁变形后横截面保持平面纯弯曲时，梁变形后横截面保持平面，且其形状大小均保持不变且其形状大小均保持不变梁内最大弯曲正应力总是发生在最大梁内最大弯曲正应力总是发生在最大弯矩的横截面上弯矩的横截面上纯弯曲时，梁变形后轴线为一圆弧线纯弯曲时，梁变形后轴线为一圆弧线 思考题：思考题： 圆轴扭转时，横截面之间产生相对转动；梁平面弯曲圆轴扭转时，横截面之间产生相对转动；梁平面弯曲时，横截面之间也产生相对转动两者有何不同？时，横截面之间也产生相对转动两者有何不同？圆轴扭转时，横截面之间圆轴扭转时，横截面之间绕轴线相对转动绕轴线相对转动梁平面弯曲时，横截面之间梁平面弯曲时，横截面之间绕中性轴相对转动绕中性轴相对转动例题例题1：：简支梁受力如图所示，简支梁受力如图所示，求：求：m m－－m m截面上点（截面上点（1 1）、（）、（2 2）处的正应力）处的正应力180180+ +MM900900N.mN.m30306060122020z zy y例题例题例题例题2 2 2 2：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩60606060KN.mKN.mKN.mKN.m作用。

作用试求：横截面上点试求：横截面上点试求：横截面上点试求：横截面上点 a a、、、、b b 和和和和c c 处处处处的弯曲正应力的弯曲正应力的弯曲正应力的弯曲正应力解：由正应力计算公式：解：由正应力计算公式：解：由正应力计算公式：解：由正应力计算公式：解：：1. 弯矩计算弯矩计算2. 形心位置计算形心位置计算由矩形由矩形 1 与矩形与矩形 2 组成的组合截面组成的组合截面例 3 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm,  =20mm试计算试计算：：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力 t,max与压应力与压应力 c,max3. 惯性矩计算惯性矩计算4. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力例 4 梁用梁用№18 工字钢工字钢 制成制成，，Me=20 kN•m, E=200 GPa试试计算：计算：最大最大弯曲正弯曲正应力应力 max ，梁轴曲率半径，梁轴曲率半径 r r解：：1. 工字钢（工字钢（GB 706-1988））一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材№18 工字钢：工字钢：2. 应力计算应力计算3. 变形计算变形计算例 5 已知已知：钢：钢带厚带厚   = 2mm, 宽宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。

试计算试计算：：带内的带内的  max 与与 M解：：1. 问题分析问题分析 应力～变形关系：应力～变形关系： 内力～变形关系：内力～变形关系：已知钢带的变形（轴线曲率已知钢带的变形（轴线曲率半径），求钢带应力与内力半径），求钢带应力与内力带厚带厚  =2 mm, 宽宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求，求  max 与与 M2. 应力计算应力计算3. . 弯矩计算弯矩计算正应力强度条件正应力强度条件－－正应力强度条件正应力强度条件 例题例题6 简支梁简支梁AB，，L＝＝3m Fp=23kN q=4kN/m [σ]=120MPa试选择此梁的槽钢型号试选择此梁的槽钢型号选16a槽钢例题例题7求均布载荷求均布载荷q的许用值的许用值[q]=3.99kN/m解题分析解题分析危险截面危险截面? ?危险点？危险点？危险截面危险截面危险点危险点例题例题例题例题8 8 螺栓压板夹紧装置计算简图如图示，螺栓压板夹紧装置计算简图如图示，螺栓压板夹紧装置计算简图如图示，螺栓压板夹紧装置计算简图如图示，（（（（A A、、、、B B、、、、C C处为空心截面）。

已知板长处为空心截面）已知板长处为空心截面）已知板长处为空心截面）已知板长3 3a a＝＝＝＝150mm150mm，材料的许用正应力，材料的许用正应力，材料的许用正应力，材料的许用正应力[ [   ] ]＝＝＝＝140MP.140MP.试计试计试计试计算压板传给工件的最大压紧力算压板传给工件的最大压紧力算压板传给工件的最大压紧力算压板传给工件的最大压紧力F F. .CABFa2a20φ30φ14解：解：解：解：（（（（1 1）作弯矩图）作弯矩图）作弯矩图）作弯矩图（（（（2 2）惯性矩）惯性矩）惯性矩）惯性矩 抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数（（（（3 3）许可载荷）许可载荷）许可载荷）许可载荷最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为FaFaM例题例题9试按正应力强度条件校核该梁的强度试按正应力强度条件校核该梁的强度安全安全横截面上任意一点的正应力横截面上任意一点的正应力－－正应力强度条件正应力强度条件小结：小结：试按正应力强度条件校核该梁的强度试按正应力强度条件校核该梁的强度求均布载荷求均布载荷q的许用值的许用值危险截面危险截面危险点危险点课堂讨论：课堂讨论：可能的危险点？可能的危险点？只需考虑一个危险点只需考虑一个危险点需考虑三个可能危险点需考虑三个可能危险点弯矩：最大值和极值异号弯矩：最大值和极值异号中性轴：是截面非对称轴中性轴：是截面非对称轴[σt]不等于不等于[σc]80y1y22020120z T T形截面铸铁梁的许用拉应力形截面铸铁梁的许用拉应力形截面铸铁梁的许用拉应力形截面铸铁梁的许用拉应力 [ [   t t] = 30MPa ] = 30MPa ，，，，许用压应许用压应许用压应许用压应力力力力[ [   c c] =160MPa. ] =160MPa. 截面对形心轴截面对形心轴截面对形心轴截面对形心轴z z的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4 ，，，， y y1 1 =52mm=52mm，，，，校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度. .F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m课堂练习课堂练习FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m解：解：解：解： B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z安全安全M图图图图 ？？？？M课下练习 铸铁梁铸铁梁，， y1 = 45 mm，，y2 = 95 mm，，[ t] = 35 MPa ，，[ c] = 140 MPa，，Iz =8.8410-6 m4，，校核梁的强度校核梁的强度解：：MD－－最大正弯矩最大正弯矩MB－－最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面 －截面－截面 D, B危险点－危险点－a, b, c安全安全例题例题例题例题10101010：梁的截面为：梁的截面为：梁的截面为：梁的截面为N N N N0 0 0 010101010工字钢，右端由圆杆工字钢，右端由圆杆工字钢，右端由圆杆工字钢，右端由圆杆CDCDCDCD支承，支承，支承，支承，已知圆杆的直径已知圆杆的直径已知圆杆的直径已知圆杆的直径d=20mmd=20mmd=20mmd=20mm，，，，梁及圆杆材料相同梁及圆杆材料相同梁及圆杆材料相同梁及圆杆材料相同[ [ [ [   ]=160]=160]=160]=160MPaMPaMPaMPa。

试求：许用均布荷载试求：许用均布荷载试求：许用均布荷载试求：许用均布荷载[ [ [ [q]=q]=q]=q]=？？？？解：解：解：解： 首先求约束反力首先求约束反力首先求约束反力首先求约束反力根据根据根据根据CDCD杆的轴拉强度条件：杆的轴拉强度条件：杆的轴拉强度条件：杆的轴拉强度条件：A AB BC CD D2 2mm1 1mmq做做ABAB的的M M图图 确定确定M MmaxmaxA AB BC CD D2 2mm1 1mmMMq/2q/2＋＋4.4.弯曲切应力弯曲切应力 切应力强度计切应力强度计算算假设   (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁 (h>b)Sz(w w)－－面积面积 w w 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩弯曲切应力公式FF+dFω截面翘曲与非纯弯推广 切应变切应变非均布非均布  截面翘曲截面翘曲（（aba'b'（（=，弯曲，弯曲   仍保持线性分仍保持线性分布布切应力非均布切应力非均布当梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > > 5h，，纯弯纯弯  公式仍足够精确公式仍足够精确当当FS= =常数时，常数时，4. 1 矩形截面矩形截面最大切应力最大切应力τmax : : 中性轴处中性轴处( ( y=0 )=0 )a与与c 点点处－单向应力处－单向应力b 点点处－纯剪切处－纯剪切4. 2工字形薄壁梁工字形薄壁梁假设假设 : :   // 腹板侧边腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布w w －－ y 下侧部分截面对中性下侧部分截面对中性轴轴 z 的静矩的静矩在腹板与翼缘交界处：在腹板与翼缘交界处：在中性轴处在中性轴处：：c 与与d 点点处－单向应力处－单向应力a 点点处－纯剪切处－纯剪切b 点点处－处－  与与  联合作用联合作用d4.2 工字形截面工字形截面 翼缘上垂直于翼缘上垂直于y 轴的切应力轴的切应力dht1t1'4. 3 盒形薄壁梁盒形薄壁梁w w假设假设 : :   // 腹腹板侧边板侧边, 并沿并沿腹板厚度均布腹板厚度均布4.4 圆形截面圆形截面yzOC2d /3p p4.5 圆环形截面圆环形截面 由由56a号工字钢制成的简支梁如图号工字钢制成的简支梁如图a所示，试所示，试求梁的横截面上的最大切应力求梁的横截面上的最大切应力 max和同一横截面上和同一横截面上腹板上腹板上a点处点处( (图图b) )的切应力的切应力  a 。

不计梁的自重不计梁的自重例例11梁的剪力图梁的剪力图解解:1.求求 maxFS,max=75kN查表查表56a号工字钢：号工字钢： Iz=65 586 cm4Iz/S * z,max=47.73cm b=12.5mm2. 求求 a查表查表56a号工字钢：号工字钢：Iz=65 586 cm4 Iz/S * z,max=47.73cmb=12.5mm例 12 FS = 15 kN, Iz = 8.84 10-6 m4, b = 120 mm,   = = 20 20 mm, yC = 45 mm试试求求:  max ；；腹板与翼缘交接处切腹板与翼缘交接处切应力应力  a解：例题例题例题例题1 13 3：由三块木板胶合而成的悬臂梁，：由三块木板胶合而成的悬臂梁，：由三块木板胶合而成的悬臂梁，：由三块木板胶合而成的悬臂梁，如图所示，试求：胶合面上的如图所示，试求：胶合面上的如图所示，试求：胶合面上的如图所示，试求：胶合面上的1 1、、、、2 2点处剪点处剪点处剪点处剪应力和总剪力应力和总剪力应力和总剪力应力和总剪力1 12 2P=3KNz z150150100100y y1 1mm1 1求静矩和惯性矩求静矩和惯性矩计算剪应力和总剪力计算剪应力和总剪力剪应力互等定律：剪应力互等定律：截面对称：截面对称：截面对称：截面对称：胶合面上的总剪力：胶合面上的总剪力：胶合面上的总剪力：胶合面上的总剪力：z z150150100100y y1 11 12 2P=3KN1 1mm如果改用销钉，销钉的间距？如果改用销钉，销钉的间距？例题例题例题例题1 1 1 14:4:4:4:试计算试计算试计算试计算1-11-11-11-1截面截面截面截面A-AA-AA-AA-A位置上位置上位置上位置上1 1 1 1、、、、2 2 2 2两点处的正应两点处的正应两点处的正应两点处的正应力，力，力，力，(2)(2)(2)(2)此截面最大正应力此截面最大正应力此截面最大正应力此截面最大正应力,(3),(3),(3),(3)全梁最大正应力、最全梁最大正应力、最全梁最大正应力、最全梁最大正应力、最大剪应力。

大剪应力大剪应力大剪应力解：解：12例题例题例题例题1 1 1 14:4:4:4:试计算试计算试计算试计算1-11-11-11-1截面截面截面截面A-AA-AA-AA-A位置上位置上位置上位置上1 1 1 1、、、、2 2 2 2两点处的正应力，两点处的正应力，两点处的正应力，两点处的正应力，(2)(2)(2)(2)此截面最大正应力此截面最大正应力此截面最大正应力此截面最大正应力,(3),(3),(3),(3)全梁最大正应力、最大剪应力全梁最大正应力、最大剪应力全梁最大正应力、最大剪应力全梁最大正应力、最大剪应力例题例题15：已知梁的横截面如图所示横向荷载作用在对称平面内：已知梁的横截面如图所示横向荷载作用在对称平面内, 该截面上的弯矩该截面上的弯矩M=12KN.m，，Fs=12KN试计算该截面上：试计算该截面上：（（1））A、、B两点处的正应力，（两点处的正应力，（2））| |max和和| |max，（，（3））沿沿a—a的的正应力和剪应力分布图正应力和剪应力分布图解：解：解：解： 首先确定截面形心位置及首先确定截面形心位置及首先确定截面形心位置及首先确定截面形心位置及截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩：y y129129z z28028016016010010040408080y y129129z z28028016016010010040408080（（3））沿沿a—a的正应力和剪应力分布图。

的正应力和剪应力分布图例题例题例题例题1 1 1 16 6 6 6：图示简支梁由：图示简支梁由：图示简支梁由：图示简支梁由N N N N0 0 0 020a20a20a20a工字钢制成，在外荷载作用下，测得工字钢制成，在外荷载作用下，测得工字钢制成，在外荷载作用下，测得工字钢制成，在外荷载作用下，测得横截面横截面横截面横截面C C C C处梁底面的纵向正应变为处梁底面的纵向正应变为处梁底面的纵向正应变为处梁底面的纵向正应变为   =3.0=3.0=3.0=3.0   10101010-4-4-4-4已知：E=200GPaE=200GPaE=200GPaE=200GPa，，，，a=1ma=1ma=1ma=1m，，，，试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力解：解：解：解： 首先求支反力首先求支反力首先求支反力首先求支反力根据虎克定律：根据虎克定律：根据虎克定律：根据虎克定律：qa2qFsFsMM3 3qa/4qa/4qaqa2 2/4/43 3qaqa2 2/4/4qaqa2 2/32/32- -+ +- -+ +qa/4qa/4A AB BC Ca aa/2a/2a/2a/2又由弯矩图可知：又由弯矩图可知：又由弯矩图可知：又由弯矩图可知：FsFsMM3 3qa/4qa/4qaqa2 2/4/43 3qaqa2 2/4/4qaqa2 2/32/32- -+ +- -+ +qa/4qa/4A AB BC Ca aa/2a/2a/2a/2剪应力强度条件剪应力强度条件－－剪应力强度条件剪应力强度条件1. 1. 梁的跨度较小或支座处有较大的载荷。

梁的跨度较小或支座处有较大的载荷2.2. 焊接或铆接的组合截面钢梁焊接或铆接的组合截面钢梁（例如工字形截面（例如工字形截面梁），其截面腹板的厚度远小于截面的高度时梁），其截面腹板的厚度远小于截面的高度时 3. 3. 各向异性材料，各向异性材料，例如木材，由于木材在顺纹方例如木材，由于木材在顺纹方向的抗剪能力较差，当中性轴上的切应力较大时，向的抗剪能力较差，当中性轴上的切应力较大时，会使梁产生沿中性轴的剪切破坏会使梁产生沿中性轴的剪切破坏例17 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，，l = 6 m，，[ ] = 100MPa ，，[ ] = 60 MPa，，选择工字钢型号选择工字钢型号.解：：1. 危险工作状态分析危险工作状态分析移动载荷问题危险截面？移动载荷问题危险截面？2. 按弯曲按弯曲  强度条件选截面强度条件选截面选选 №22a, Wz=3.09×10-4 m43. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较当当 l >> h 时，时， max >>  max 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与与c 点点处－单向应力处－单向应力b 点点处－纯剪切处－纯剪切薄壁截面梁c 与与d 点点处－单向应力处－单向应力a 点点处－纯剪切处－纯剪切b 点点处－处－  与与  联合作用联合作用dd  弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件：  弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：[ [ ] - ] - 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力[ [ ] - ] - 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 细长非薄壁梁细长非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁或梁段或梁段梁的强度条件 对一般薄壁梁，对一般薄壁梁，还应还应考虑考虑   、、  联合作用下的联合作用下的强度强度问题问题（参见强度理论）（参见强度理论）强度条件的应用强度条件的应用例题例题18 截面为截面为22a工字钢的简支梁工字钢的简支梁试校核该梁的强度。

试校核该梁的强度例题例题18 截面为截面为22a工字钢的简支梁，工字钢的简支梁，试校核该梁的强度试校核该梁的强度不安全不安全可选用型号为可选用型号为可选用型号为可选用型号为25b25b的工字钢的工字钢的工字钢的工字钢 5.5.提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施1. 梁的合理截面梁的合理截面衡量截面是否合理的指标衡量截面是否合理的指标: Wz/A圆形截面：圆形截面：Wz/A=0.91矩形截面矩形截面: Wz/A=1.53工字形工字形: Wz/A=7.36截面面积均为截面面积均为A＝＝42cm2 的圆形，矩形，工字形截面的圆形，矩形，工字形截面根据截面几何性质选择合理截面根据截面几何性质选择合理截面考虑材料力学性质考虑材料力学性质例 19 梯形截面梁，梯形截面梁，[ t] ] = 45 MPa，， [ c] ] = 80 MPa，试求，试求 a 与与 b 的最佳比值的最佳比值解：：1. 形心的最佳位置形心的最佳位置2. a与与b的最佳比值的最佳比值2. 合理安排梁的受力合理安排梁的受力合理安排加载方式合理安排约束均均匀匀受受力力！！2. 合理安排梁的受力合理安排梁的受力均匀受力！均匀受力！6LLPl138.0L4Pl2L8PlL8Pl4L4LL2025. 0ql2025. 0ql2025. 0ql2. 合理安排梁的受力合理安排梁的受力3. 变截面梁（等强度梁的概念）变截面梁（等强度梁的概念） 使梁横截面沿轴线变化，以达到使梁横截面沿轴线变化，以达到各横截面的最大正应力都等于许用应力，各横截面的最大正应力都等于许用应力，即：即：L4Pl例例2020：：图示之图示之AB为简支梁，当载荷为简支梁，当载荷FP直接作用在梁的跨度中点直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30％。

为减小％为减小AB梁内的梁内的最大正应力，在最大正应力，在AB梁配置一辅助梁梁配置一辅助梁CD，，CD也可以看作是简支也可以看作是简支梁试求辅助梁的长度梁试求辅助梁的长度a M＋＋＋＋M配辅助梁配辅助梁CD前前配辅助梁配辅助梁CD后后解：解：作作AB梁配梁配辅助梁辅助梁CD前后的弯矩图：前后的弯矩图： 对于塑性材料制作的矩形横截面悬臂梁，对于塑性材料制作的矩形横截面悬臂梁，其等强度设计为：其等强度设计为：－－弯曲等强条件弯曲等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁－－剪切等强条件剪切等强条件－－弯曲等强条件弯曲等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁－－剪切等强条件剪切等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁 a = ? [F] 最大最大2. 合理安排梁的受力合理安排梁的受力力学小问题：力学小问题：宽宽4m的水沟上横跨一长的水沟上横跨一长6m的窄板，板的的窄板，板的[M]=600N.m，，两体重均为两体重均为800N的人采用何种办法可安全通过此沟？的人采用何种办法可安全通过此沟？当一人站在右侧外伸段距右支座当一人站在右侧外伸段距右支座0.536m~0.75m之间时，之间时，另一人可安全通过。

同理，另一人可安全通过同理，过沟的人站在左侧外伸段距右过沟的人站在左侧外伸段距右支座支座0.536m~0.75m之间时，另一人可安全通过之间时，另一人可安全通过研究性问题研究性问题研究性问题研究性问题 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载对于图中的吊车大梁，现因移动荷载对于图中的吊车大梁，现因移动荷载对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F F增加为增加为增加为增加为50kN50kN，故在，故在，故在，故在 20a20a号工字钢梁的中段用两块横截面为号工字钢梁的中段用两块横截面为号工字钢梁的中段用两块横截面为号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm120mm   10mm10mm而而而而长度长度长度长度 2.2mm2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示. .已知许用已知许用已知许用已知许用弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力[ [   ]=152MPa]=152MPa，，，，许用切应力许用切应力许用切应力许用切应力 [ [   ]=95MPa.]=95MPa.试校核此梁试校核此梁试校核此梁试校核此梁的强度的强度的强度的强度. .2.2m200z22012010解：加强后的梁是阶梯状解：加强后的梁是阶梯状解：加强后的梁是阶梯状解：加强后的梁是阶梯状变截面梁变截面梁变截面梁变截面梁. . 所以要校核所以要校核所以要校核所以要校核（（（（3 3））））F F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力移至未加强的梁段在截面变化处的正应力移至未加强的梁段在截面变化处的正应力移至未加强的梁段在截面变化处的正应力. .（（（（2 2））））F F靠近支座时靠近支座时靠近支座时靠近支座时支座截面上的支座截面上的支座截面上的支座截面上的切应力；切应力；切应力；切应力；（（（（1 1））））F F位于跨中时跨中截面位于跨中时跨中截面位于跨中时跨中截面位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力；上的弯曲正应力；上的弯曲正应力；上的弯曲正应力；（（（（1 1）校核）校核）校核）校核F F位于跨中截面时的弯曲位于跨中截面时的弯曲位于跨中截面时的弯曲位于跨中截面时的弯曲正应力正应力正应力正应力查表得查表得查表得查表得20a20a工字钢工字钢工字钢工字钢62.5kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大弯最大弯最大弯最大弯矩值为矩值为矩值为矩值为跨中截面对中性轴的惯性矩为跨中截面对中性轴的惯性矩为跨中截面对中性轴的惯性矩为跨中截面对中性轴的惯性矩为200z22012010略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩. .抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数（（（（2 2）校核突变截面处的正应力，）校核突变截面处的正应力，）校核突变截面处的正应力，）校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度也就是校核未加强段的正应力强度也就是校核未加强段的正应力强度也就是校核未加强段的正应力强度. .2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4m50.4 kN·m该截面上的最大弯矩为该截面上的最大弯矩为该截面上的最大弯矩为该截面上的最大弯矩为从型钢表中查得从型钢表中查得从型钢表中查得从型钢表中查得20a20a工字钢工字钢工字钢工字钢梁不能满足正应力强度条件梁不能满足正应力强度条件梁不能满足正应力强度条件梁不能满足正应力强度条件. .为此应将加强板适当延长为此应将加强板适当延长为此应将加强板适当延长为此应将加强板适当延长. .（（（（3 3）校核阶梯梁的切应力）校核阶梯梁的切应力）校核阶梯梁的切应力）校核阶梯梁的切应力F F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置 请同学们自行完成计算请同学们自行完成计算请同学们自行完成计算请同学们自行完成计算. .6.6.开口薄壁杆件剪应力开口薄壁杆件剪应力 弯曲中弯曲中心心6.6.开口薄壁杆件剪应力开口薄壁杆件剪应力 弯曲中弯曲中心心 Fx=0－－  (  d x)=0FNx*+d FNx*－－FNx*1122 若截面上的剪力为若截面上的剪力为Q （（铅垂方向）铅垂方向），， ，求，求1-1截面、截面、2-2截面上的剪应力截面上的剪应力1-1截面上的剪应力截面上的剪应力2-2截面上的剪应力截面上的剪应力Zba开口和闭口截面在相同剪力作用下，截面开口和闭口截面在相同剪力作用下，截面尺寸相同，比较两截面等高的尺寸相同，比较两截面等高的a、、b处剪应力，处剪应力，最大剪应力。

最大剪应力合力合力 向形心简化结果向形心简化结果 向弯曲中心简化结果向弯曲中心简化结果求弯曲中心求弯曲中心常见杆件弯曲中心常见杆件弯曲中心习题：习题：5－－ 4 5 12 17 19 22 32 33。