复变函数(分式线性变换).ppt

Department of Mathematics第二节 分式线性变换1一 分式线性变换及其分解 1 分式线性变换概念 (1) 函数称为分式线性变换,简记为(2) 在扩充z平面上补充定义2(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的32 分式线性变换的分解4(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2) (I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移5旋转与伸长(或缩短)变换平移映射6此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换....规定: 无穷远点的对称点是圆心O.7....即:8例1试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.9例2 试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个 相异的或一个二重的不动点证明线性变换(7.3)的不动点适合即上面系数不全为零,10这时(7.3)为有不动点11不动点二 分式线性变换的共形12定义7.3由定义7.3引入两个反演变换133 定理7.7 分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.14三 分式线性变换的保交比性1定义7.4注152 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。

证明因此16注因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的.173 定理7.9注 三对对应点唯一确定一分式线性变换. 证明 先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由18得同理，有因此，有19由此，我们可以解出分式线性函数由此也显 然得这样的分式线性函数也是唯一的那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数由此也显 然得这样的分式线性函数也是唯一的其次，如果已给各点除 外都是有限点 则所求分式线性函数有下列的形式：20例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为即整理得21四 分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.221 定理7.10分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线).注1 在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.事实上,(7.11)可写成注2同时圆被共形变换成圆 ---分式线性变换的保圆性.2324.... ...... ..25注3 在扩充z平面上给定区域K及D,其边界是的 圆周,则K可共形变换成D. 注4例4 试决定在分式线性变换下实轴与上半z平面及单位圆周的像.解(1) 因系数为实数, 从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面,26(2) 扩充z平面上的圆周由三个点决定,27五 分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”28则所以“充分性”29. ...2 定理7.1证明30....313 分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,32解由定理7.12,例5 求线性变换变为上半平面,使将圆盘33由线性变换的保交比性, 所求的线性变换为即整理后得34六 线性变换的应用由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周) 性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区 域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型. 例635事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解36例7解故37即故解该方程组得故所的线性变换为38例8解由线线变换的保对称性,39因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为40注1 确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注241例9解由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式42利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为43注1 确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注244例1045解作线线变换复合上述两个变换得整理得46即由得从而所求的变换为47例11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换48使得于是(4)排列对应点49(5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为5051本节结束 谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics52。