必修五-解三角形-讲义(共21页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析 【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即== =2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即　　c=， c= ， c=． ∴==2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC= 两边同除以即得：==证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理 =2R，＝2R正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:2、余弦定理余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即： 若用三边表示角，余弦定理可以写为余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．注意：在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0．则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC．若∠C=90，则cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．4、三角形的有关定理：内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形应用题的一般步骤：（1）、分析题意，弄清已知和所求；（2）、根据提意，画出示意图；（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；（4）、正确运用正、余弦定理。

典型例题】例1 已知在解：∴由得 由得例2 在解：∵∴例3 解：，例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180∴sinADB＝sin（180－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例5在ΔABC中，已知a=,b=,B=45，求A,C及边c．解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45<90且b

解一：由正弦定理：∴2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90∴△ABC为等腰或直角三角形解二： 由题设：化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) ∴(a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0∴a = b或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形．思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．例7在ΔABC中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：11, 1

分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例10如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理, = 所以 AB ==解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=将测量数据代入上式,得 BD = = ≈177 (m)CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.例11如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理, = , BC == ≈ 7.4524(km)CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)答:山的高度约为1047米例12如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= = ≈113.15根据正弦定理, = sinCAB = = ≈0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例13在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2==2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= --------- ①在RtADE中，sin4=, --------- ② ②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m例14某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿。