《线性代数》经典证明题课件.ppt

线性代数线性代数证明题证明题东南大学数学系东南大学数学系一一. 为什么要练习解决证明题为什么要练习解决证明题培养严谨的逻辑思维能力培养严谨的逻辑思维能力 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 为什么要竞争？为什么要竞争？ 竞争 为什么要生存？为什么要生存？ 本能 二二. 我们为什么觉得证明题难我们为什么觉得证明题难不清楚题目所涉及的概念不清楚题目所涉及的概念不熟悉现存的有关结论不熟悉现存的有关结论分不清条件的分不清条件的必要性必要性与与充分性充分性不善于组织语言不善于组织语言没有积累足够的经验没有积累足够的经验没有深入思考没有深入思考三三. 证明题的难度分类证明题的难度分类1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式直接用定义、定理、性质、推论、公式 条件条件 结论结论 定义定义/定理定理/性质性质/推论推论/公式公式 检验检验 例例1. 设设e1 = 100 , e2 = 010 , , en = 001 , 证明证明: (1) e1, e2, , en线性无关线性无关. (2) 任何一个任何一个n维向量都能由维向量都能由 e1, e2, , en线性表示线性表示. k1, k2, , kn 不存在不全为零的数不存在不全为零的数k1e1+k2e2+knen = . 使使 即即 k100 + 0k20 + = 00kn , 000 亦即亦即 k1k2kn = , 000 可见可见k1=k2=kn=0. 证明证明: (1) 所以所以e1, e2, , en线性无关线性无关. 不存在不全为零的数不存在不全为零的数k1, k2, , kn使使k1e1+k2e2+knen = . 这就是说这就是说 若若k1e1+k2e2+knen = , 例例1. 设设e1 = 100 , e2 = 010 , , en = 001 , 证明证明: (1) e1, e2, , en线性无关线性无关. (2) 任何一个任何一个n维向量都能由维向量都能由 e1, e2, , en线性表示线性表示. a1a2an = 100 + 010 + + 001 a1 a2 an 证明证明: (2) 因为因为 = 100 + 010 + + 001 a1a2an a1 a2 an a1a2an 都成立都成立, 对于任意的对于任意的n维向量维向量 所以任何一个所以任何一个n维向量都能由维向量都能由 e1, e2, , en 线性表示线性表示. 证明证明: (2) 对于任意的对于任意的n维向量维向量 =(a1, a2, , an)T, 设设 = x1e1+x2e2+xnen, x100 + 0 x20 + 00 xn , a1a2an = 由此可得由此可得x1=a1, x2=a2, , xn=an. 所以任何一个所以任何一个n维向量都能由维向量都能由e1, e2, , en线性表示线性表示. 这只是这只是这只是这只是必要条件必要条件必要条件必要条件 即即 经检验经检验, = a1e1+a2e2+anen 确实成立确实成立, 三三. 证明题的难度分类证明题的难度分类1.直接用定义、定理、性质、推论、公式直接用定义、定理、性质、推论、公式 2. 从结论往回推一步从结论往回推一步 条件条件 结论结论 对接对接 定义定义/定理定理/性质性质/推论推论/公式公式 从条件往下推一步从条件往下推一步+ 例例2. 设设 1, 2, 3线性无关线性无关, 证明证明 1= 1+ 2+ 3, 2= 2+ 3, 3= 3 也线性无关也线性无关. 1, 2, 3线性无关线性无关 1, 2, 3线性无关线性无关 由由k1 1+k2 2+k3 3 = 推出推出k1=k2=k3=0 由由l1 1+l2 2+l3 3 = 推出推出l1=l2=l3=0 证明证明:若若k1 1+k2 2+k3 3 = , 即即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 2+ 3)+k3 3 = , 亦即亦即k1 1+ (k1+k2) 2+(k1+k2+k3) 3 = . 又因为又因为 1, 2, 3线性无关线性无关, 所以所以k1 = k1+k2 = k1+k2+k3 = 0. 由此可得由此可得k1 = k2 = k3 = 0. 这就是说这就是说, 不存在不全为零的数不存在不全为零的数k1, k2, k3 使使k1 1+k2 2+k3 3 = . 所以所以 1, 2, 3线性无关线性无关. 三三. 证明题的难度分类证明题的难度分类1.直接用定义、定理、性质、推论、公式直接用定义、定理、性质、推论、公式 2.从条件往下推一步从条件往下推一步+从结论往回推一步从结论往回推一步 3.要走好几步而且有分岔要走好几步而且有分岔, 可能要讨论可能要讨论, 归纳归纳 条件条件 结论结论 例例3. 设设A, B, A+B都是可逆矩阵都是可逆矩阵, 证明证明A 1 + B 1也也 是是可逆矩阵可逆矩阵. A, B, A+B可逆可逆 A 1 + B 1可逆可逆 | |A A|, |, | |B B| |, | , |A A+ +B B| | 0 0 A Ax x = = 只有零解只有零解只有零解只有零解 A A, , B B, , A A+ +B B满秩满秩满秩满秩 A A, , B B, , A A+ +B B与与与与I I相抵相抵相抵相抵 A A的行的行的行的行( (列列列列) )向量组向量组向量组向量组线性无关线性无关线性无关线性无关 A A 1 1+ +B B 1 1的行的行的行的行( (列列列列) )向量组线性无关向量组线性无关向量组线性无关向量组线性无关 A A 1 1+ +B B 1 1与与与与I I相抵相抵相抵相抵 A A 1 1+ +B B 1 1满秩满秩满秩满秩 ( (A A 1 1+ +B B 1 1) )x x = = 只有零解只有零解只有零解只有零解 | |A A 1 1+ +B B 1 1| | 0 0 注意到注意到注意到注意到这几个矩阵这几个矩阵这几个矩阵这几个矩阵都是方阵都是方阵都是方阵都是方阵 例例3. 设设A, B, A+B都是可逆矩阵都是可逆矩阵, 证明证明A 1 + B 1也也 是是可逆矩阵可逆矩阵. 证明证明: 因为因为A, B, A+B都是可逆矩阵都是可逆矩阵, = |A 1(BB 1) + (A 1A)B 1| = |A 1(BB 1) + A 1(AB 1)| = |A 1(BB 1 + AB 1)| = |A 1(B + A)B 1| = |A 1(A + B)B 1| = |A 1| |A+B| |B 1| = |A| 1 |A+B| |B| 1 |A 1 + B 1| = |A 1I + IB 1| 所以所以|A|, |B|, |A+B|都不为零都不为零. 于是可得于是可得 0. 可见可见A 1 + B 1是是可逆矩阵可逆矩阵. 四四. 怎样提高解决证明题的能力怎样提高解决证明题的能力学而不思则惘，思而不学则殆。

学而不思则惘，思而不学则殆 春秋春秋论语论语 敏而好学，不耻下问敏而好学，不耻下问 千里之行始于足下千里之行始于足下 春秋春秋老子老子工欲善其事，必先利其器工欲善其事，必先利其器 四四. 怎样提高解决证明题的能力怎样提高解决证明题的能力不积跬步无以至千里不积跬步无以至千里战国战国荀子荀子:劝学劝学 锲而不舍，金石可镂锲而不舍，金石可镂 北宋北宋欧阳修欧阳修:卖油翁卖油翁 无他，惟手熟尔无他，惟手熟尔 清清彭端淑彭端淑:为学为学 为之则难者亦易矣为之则难者亦易矣 五五. 爆炒证明题爆炒证明题例例4. 已知三角形已知三角形ABC中中, 点点D, E, F分别是边分别是边BC, CA, AB的中点的中点, 求证求证:AD + BE + CF = . 证明证明: 因为因为D, E, F分别是分别是BC, CA, AB的中点的中点, C A B F . D . E . 所以所以BD = BC, 1 2 CE = CA, 1 2 AF = AB, 1 2 因而因而AD + BE + CF = (= (ABAB+ +BDBD)+()+(BCBC+ +CECE)+()+(CACA+ +AFAF) )= (AB+BC+CA) 3 3 2 2 = . 例例5. 设设 , 为两个不共线的向量为两个不共线的向量, AB = +2 , BC = 4 , CD = 5 3 , 证明证明: 四边形四边形ABCD是梯形是梯形. 证明证明证明证明: : 因为因为因为因为ADAD = = ABAB + + BCBC + + CD CD = = 8 8 2 2 = 2= 2BCBC. . 万一万一AD = 2BC = 怎么办怎么办?小样儿小样儿, 还想刁难我还想刁难我! 看我怎么摆平你看我怎么摆平你! 例例5. 设设 , 为两个不共线的向量为两个不共线的向量, AB = +2 , BC = 4 , CD = 5 3 , 证明证明: 四边形四边形ABCD是梯形是梯形. 证明证明证明证明: : 因为因为因为因为ADAD = = ABAB + + BCBC + + CD CD = = 8 8 2 2 = 2= 2BCBC. . 假若假若假若假若BCBC = = , , 所以所以所以所以BCBC . . 即即即即 4 4 = = , , 则则则则 = = 4 4 , , 这与这与这与这与“ “ , , 个不共线个不共线个不共线个不共线” ”矛盾矛盾矛盾矛盾! ! 因而因而因而因而ADAD = 2 = 2BCBC 0, 0, 故由故由故由故由ADAD = 2 = 2BCBC可知可知可知可知ADAD与与与与BCBC平行而且同方向平行而且同方向平行而且同方向平行而且同方向. . 会不会出现会不会出现 . C .A . B . D 即即即即k k1 1( ( +2 +2 ) + ) + k k2 2( ( 5 5 3 3 ) = ) = , , 整理得整理得整理得整理得 ( (k k1 1 5 5k k2 2) ) + (2 + (2k k1 1 3 3k k2 2) ) = = . . 所以所以所以所以k k1 1 5 5k k2 2 = 2 = 2k k1 1 3 3k k2 2 = 0. = 0. 又因为又因为又因为又因为 , , 个不共线个不共线个不共线个不共线, , 由此可得由此可得由此可得由此可得k k1 1 = = k k2 2 = 0. = 0. 这与这与这与这与“ “k k1 1, , k k2 2不全为零不全为零不全为零不全为零” ”矛盾矛盾矛盾矛盾! ! 此矛盾表明此矛盾表明此矛盾表明此矛盾表明ABAB与与与与CDCD不共线不共线不共线不共线. . 综上所述综上所述综上所述综上所述, , 四边形四边形四边形四边形ABCDABCD必为梯形必为梯形必为梯形必为梯形. . 假若假若假若假若ABAB与与与与CDCD共线共线共线共线, , 则存在不全为零的数则存在不全为零的数则存在不全为零的数则存在不全为零的数k k1 1, , k k2 2使得使得使得使得k k1 1ABAB + + k k2 2CDCD = = , , 会不会出现会不会出现 . C .A . B . D 故由故由故由故由ADAD = 2 = 2BCBC可知可知可知可知ADAD与与与与BCBC平行而且同方向平行而且同方向平行而且同方向平行而且同方向. . 例例6. 设设M是是 ABC的重心的重心, O是是 ABC所在平面上所在平面上 的任意一点的任意一点, 证明证明: OM = (OA + OB + OC).1 1 3 3 证明证明证明证明: : 要证要证要证要证OMOM = ( = (OAOA + + OBOB + + OCOC), ), 1 1 3 3 只要证只要证只要证只要证3 3OMOM = = OAOA + + OBOB + + OCOC, , 即即即即( (OMOM OAOA) + () + (OMOM OBOB) + () + (OMOM OCO。