数列的十种典型递推式.doc

1 十大递推数列求通项：(1)等差数列：an=an-1+d 例1：已知：数列{an}中a1=1,an=an-1+3,(n≥2).求an的通项公式 答an=3n-2.(2)等比数列： an=an-1q 例2：已知：数列{an}中a1=1,an=2an-1,(n≥2).求an的通项公式 答an=. (3)似等差数列： an=an-1+f(n) 用叠加法例3：已知：数列{an}中a1=1,an=an-1+3n+1,(n≥2).求an的通项公式 答an=. (4)线性数列： an=pan-1+q 构造等比数列例4：已知：数列{an}中a1=3,an=2an-1-1,(n≥2).求an的通项公式 答an=. (5) 似等比数列： an=an-1f(n) 叠乘法例5：已知：数列{an}中a1=3,an=nan-1,(n≥2).求an的通项公式 答an=3n！. (6)三项递推： an=pan-1+qan-2 设an+1-xan =y(an-xan-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出例6：已知：数列{an}中a1=1,a2=3,an=3an-1-2an-2,(n≥3).求an的通项公式。

答an=2n-1.例7：已知：数列{an}中a1=1,a2=3,an=4an-1-4an-2,(n≥3).求an的通项公式 答an=(n+1)2n-2.例8：已知：数列{an}中a1=1,a2=4,an=4an-1-4an-2,(n≥3).求an的通项公式 答an=n2n-1.例9：已知：数列{an}中a1=2,a2=3,an=5an-1-6an-2,(n≥3).求an的通项公式 答an=3×2n-1-3n-1.例10：已知：数列{an}中a1=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n≥3).求an的通项公式 答周期为6.例11 (2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)福建卷(新课程))（22）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）若数列满足证明是等差数列 (7)似线性数列：an+1=pan+f(n) ，变为 ，即化为（3）型特别地①型，还可以令，待定系数x,y，构造等比数列，要比通法简单②型，还可以令，待定系数x,y，构造等比数列，要比通法简单例12：已知：数列{an}中a1=5,an=3an-1+3n-1,(n≥2).求an的通项公式。

答(8)指数数列：an+1=pank ，取对数，化为（4）型例13：已知：数列{an}中a1=4,an=an-13,(n≥2).求an的通项公式 答an=.(9)分式递推：原理：设，先待定s,r的值，再取倒数得：，令，化为：bn+1=abn+c型，下略求法：在上述原理中，称r为的特征根特征根的求法除了按上述方法逐步进行外，也可令，解关于x的方程，得出方程的根x1，x2即为特征根r1,r2.至此法（ⅰ）令，再根据原式中分子的的系数待定出s，既可求解法（ⅱ）令，得an=,将该式代入已知等式即得bn的递推关系先求出bn,再求an 注：该法更容易用例14（2006年奥林匹克竞赛山东省赛区预选赛19题，即最后一题）已知：数列{an}满足an+1an+3an+1+an+4=0,(n≥2).（1）当a1=-1时, 求an的通项公式2）当a1=-2.03时,求an的最小值和最大值3）当a2006是{an}中的最小项时，求a1的取值范围答（1）an=-2+.(2)a34最小为-5;a35最大为-.(3).例15 在数列{an}中，a1=4,且an+1=,求an例16 已知曲线C：，过C上一点作斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列，其中。

Ⅰ）求与的关系式；（Ⅱ）求证：是等比数列；（Ⅲ）求证：答案：（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴（ⅰ）当n为偶数时，∴ ⅱ）当n为奇数时，综上所述：10）f(an,Sn)=0 构造f(an-1,Sn-1)=0,两式相减 （11）两个数列的递推若数列{an},{bn}满足（n≥2）构造an+xbn=y(an-1+xbn-1)求解例16 已知：数列{an}，{bn}满足（n≥2）且a1=2,b1=3,求an,bn的通项公式 答： .例17 已知：数列{an}，{bn}满足（n≥2）且a1=10,b1=8,求an,bn的通项公式答：an=9+ ,bn=. （12） 周期数列例18 已知：数列{an}中a1=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n≥3).求an的通项公式 答：a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,故an是周期为6的数列例19 已知：数列{an}中a1=a, an=,(n≥2).求an的通项公式 答：故an是周期为3的数列注：特别地，a1=0时，常为考题例20 已知：数列{an}中a1=1, an=,(n≥2).求an的通项公式。

答：a1=1, .故an是周期为6的数列例21 已知：数列{an}中a1=a, an=,(n≥2).求an的通项公式故an是周期为4的数列2 数列求和中常用的拆裂项方法1） 若an成等差数列，则2） (3)Cnm=C-Cnm+1 n×n！= (n+1)！-n！mCnm=nC, m(m-1)Cnm=n(n-1)C, n2=2 Cn2+n, n3=6 Cn3+6 Cn2+n,（4）。