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3 受弯构件本章主要介绍受弯构件的内力，钢筋混凝土受弯构件的构造要求和承载力计算方法，以及钢受弯构件的构造要求要求掌握受弯构件的内力计算及内力图绘制方法，掌握钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算方法，理解斜截面承载力计算方法，理解钢筋混凝土和钢受弯构件的主要构造要求 本章提要本 章 内 容3.1 受弯构件的内力3.2 钢筋混凝土受弯构件3.3 钢受弯构件 3.1 受弯构件的内力杆件在纵向平面内受到力偶或垂直于杆轴线的横向力作用时，杆件的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲实际上，杆件在荷载作用下产生弯曲变形时，往往还伴随有其他变形我们把以弯曲变形为主的构件称为受弯构件梁和板，如房屋建筑中的楼（屋）面梁、楼（屋）面板、雨篷板、挑檐板、挑梁等是工程实际中 典型的受弯构件，如图3.1所示 3.1.1 慨述实际工程中常见的梁，其横截面往往具有竖向 对称轴（图3.2（a）、（b）、（c）），它与梁轴线所构成的平面称为纵向对称平面（图3.2（d））若作用在梁上的所有外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，则梁变形时，其轴线将变成该纵向对称平面内的一条平面曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。

按支座情况不同，工程中的单跨静定梁分为悬臂梁、简支梁和外伸梁三类 在梁的计算简图中，梁用其轴线表示，梁上荷载简化为作用在轴线上的集中荷载或分布荷载，支座则是其对梁的约束，简化为可动铰支座、固定铰支座或固定端支座梁相邻两支座间的距离称为梁的跨度悬臂梁、简支梁、外伸梁的计算简图如图 3.3所示 图3.1 受弯构件举例 图3.2 梁横截面的竖向对称轴及梁的纵向对称平面 （a）、（b）、（c）梁横截面的竖向对称轴；（d）梁的纵向对称平面 图3.3 单跨静定梁的计算简图 （a）悬臂梁；（b）简支梁；（c）、（d）外伸梁 图3.4（a）为一平面弯曲梁现用一假想平面将梁沿m-m截面处切成左、右两段现考察左段（图3.4（b））由平衡条件可知，切开处应有竖向力V和约束力偶M若取右段分析，由作用与反作用关系可知，截面上竖向力V和约束力偶M的指向如图3.4(c)V是与横截面相切的竖向分布内力系的合力，称为剪力；M是垂直于横截面的合力偶矩，称为弯矩 3.1.2 梁的内力——剪力和弯矩的计算 3.1.2.1 剪力和弯矩的概念 剪力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）；弯矩的单位是牛顿·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。

￿剪力和弯矩的正负规定如下：剪力使所取脱离 体有顺时针方向转动趋势时为正，反之为负（图3.5（a）、（b））；弯矩使所取脱离体产生上部受压、下部受拉的弯曲变形时为正，反之为负（图3.5（c）、（d））￿图3.4 梁的内力 图3.5 剪力、弯矩的正负规定 (a)、(b)剪力的正负规定；￿ (c)、(d) 弯矩的正负规定 用截面法计算指定截面剪力和弯矩的步骤如下 ：￿（1）计算支反力；￿（2）用假想截面在需要求内力处将梁切成两段，取其中一段为研究对象；￿（3）画出研究对象的受力图，截面上未知剪力和弯矩均按正向假设；￿（4）建立平衡方程，求解内力￿3.1.2.2 截面法计算剪力和弯矩 【例3.1】如图3.6(a)所示简支梁，F1＝F2＝8kN，试求1-1截面 的剪力和弯矩￿【解】（1）求支座反力￿以AB梁为研究对象，假设支座反力FA和FB如图3.6所示 ￿由∑MA＝0得：￿￿ 2F1＋5F2－8FB＝0￿FB=(2F+5F2)/8=(2×8+5×8)/8=7kN￿￿由∑Fy＝0得：￿￿ FA+FB－F1－F2＝0￿FA=F1+F2-FB=8+8-7=9kN￿￿ （2）求截面1-1的内力￿取1-1截面以左的梁段为研究对象，假设剪力V和弯矩M如 图3.6(b)(按正向假设)。

￿由∑Fy＝0得：￿￿ FA－F1－V＝0￿V＝－F1＋FA＝-8＋9＝1kN￿￿￿由∑MA＝0得：￿￿ M－2F1－4V＝0￿M＝2F1+4V＝2×8＋4×1＝20kN·m￿￿￿计算结果V、 M均为正值，说明其实际方向与所设方向相同 【例3.2】试求图3.7(a)所示悬臂梁1-1截面的内力￿【解】本例可不必计算固定端的支座反力￿假想将梁从1-1截面处切开，取右段为研究对象，按正向 假设剪力V和弯矩M，如图3.7(b)由∑Fy＝0得：￿￿ V－2q-F＝0￿V＝2q＋F＝2×8＋20＝36￿ kN￿￿￿由∑M1-1＝0得：￿￿ -M-2q×1－F×2＝0￿M＝-（2×8+20×2）＝-56kN·m￿￿￿计算结果V 为正值，说明其实际方向与假设方向相同M 为负，说明其实际方向与假设方向相反由以上例题的计算可总结出截面法计算任意截面剪 力和弯矩的规律：￿（1）梁内任一横截面上的剪力V，等于该截面左 侧（或右侧）所有垂直于梁轴线的外力的代数和,即V＝ ∑F外所取梁段上与该剪力指向相反的外力在式中取正 号，指向相同的外力取负号￿（2）梁内任一横截面上的弯矩M，等于截面左侧（或右侧） 所有外力对该截面形心的力矩的代数和， 即M=∑Mc（F外）。

所取脱离体上M转向相反的外力矩 及外力偶矩在式中取正号，转向相同的取负号￿【例3.3】试计算图3.8所示外伸梁A、B 、E、F截面上的内力已知F=5kN，m=6kN·m，q=4kN/m￿ ￿【解】（1）求支座反力￿取整体为研究对象，设支反力FA、FB方向向上￿由∑MB＝0得：￿￿ 6FA+2q×2/2-2F-m-8F＝0￿FA=8kN￿由∑Fy＝0得：￿￿ FA+FB-F-F-2q=0￿FB=-FA+F+F+2q=-8+5+5+2×4=10kN￿￿ （2）求出相应截面的内力￿按正向假设未知内力，各截面均取左段分析￿A左截面：￿VA左＝-F＝-5kN￿￿MA左＝-F×2＝-5×2＝－10kN·m￿￿A右截面：￿VA右＝-F＋FA＝-5＋8＝3kN￿￿MA右＝-F×2＝-5×2＝－10kN·m￿￿E左截面：￿VE左＝-F＋FA＝-5＋8＝3kN￿￿ME左＝-F×4＋FA×2＝－4kN·m￿￿E右截面：￿VE右＝-F＋FA＝3kN￿￿ME右＝-F×4＋FA×2－m＝－10kN·m￿￿F左截面：￿VF左＝-F＋FA＝3￿ kN￿￿MF左＝-F×6＋FA×4－m＝－4kN·m￿￿F右截面：￿VF右＝-F＋FA－F＝－2kN￿￿MF右＝-F×6＋FA×4－m＝－4kN·m￿￿B左截面：￿VB左＝-F＋FA－F＝-2kN￿￿MB左＝-F×8＋FA×6－m－F×2＝-8kN·m￿￿B右截面：￿VB右＝-F＋FA－F＋FB＝8kN￿￿MB右＝-F×8＋FA×6-m-F×2＝-8kN·m￿￿由上述例题可以看出，有集中力偶作用处的左侧和右侧截面上，弯矩突变，其突变的绝对值等于集中力偶的大小；有集中力作用处的左侧和右侧截面上，剪力值突变，其突变的绝对值等于集中力的 大小。

￿ 图3.6 例3.1图图3.6 例3.1图图3.7 例3.2图 图3.8 例3.3图 若用沿梁轴线的坐标x表示横截面的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即：￿￿ Vx＝V（x） （3.1）￿Mx＝M（x） （3.2）￿￿式（3￿ 1）、式（3￿ 2）分别称为剪力方程和弯矩方程根据剪力方程和弯矩方程，用描点的方法即可绘制出相应剪力图和弯矩图，这种方法称为静力法 ￿3.1.3 梁的内力图 3.1.3.1 静力法绘制梁的内力图 用静力法画梁内力图的步骤如下：￿（1）求支座反力（悬臂梁可不必求出支座反力）￿（2）根据静力平衡条件，分段列出剪力方程和弯矩方程￿（3）求出各控制截面的内力值，描点绘图￿（4）根据所画V图和M图确定Vmax和Mmax的数值和位置 【例3.4】图3.9（a）所示简支梁承受均布荷载作用，试画出其 内力图￿【解】（1）求支座反力￿因结构与荷载对称，显然有 FA＝FB=1/2/ql（↑） ￿（2）列剪力方程和弯矩方程￿假想将梁从距A点x的任意截面切开，取左段分析￿ ￿ V（x）=FA-qx=1/2ql-qx （0＜x＜l）￿M（x）＝FAx-1/2qx2＝1/2qlx-1/2qx2（0≤x≤l）（3）画剪力图和弯矩图￿由剪力方程可知，剪力图为一斜直线，计算出两个截面的 剪力即可画出剪力图。

当x=0+时，V（x）=VA右=1/2ql；￿当x=l-时，V（x）=VB左=-1/2ql￿由弯矩方程知，弯矩图是二次抛物线，至少应计算出三个 截面的弯矩值才能画出弯矩图￿当x=0时，M（x）=MA=0；￿当x=l/2时，M（x）=MC=1/8ql2；￿当x=l时，M（x）=MB=0￿根据计算结果画出剪力图、弯矩图如图3.9(b)、(c)由图可见，承受均布荷载作用的剪支梁，最大剪力发生在梁端，其 绝对值∣V∣max=1/2ql；最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面，其绝对值∣M∣max=1/8/ql2 【例3.5】画出图3.10(a)中简支梁的内力图￿【解】（1）求支座反力￿由∑MA＝0￿ 得：￿￿ FBl-Fa=0￿FB=Fa/l（↑）￿￿由∑MB＝0得：￿￿ Fb-FAl=0￿FA=Fb/l（↑）￿￿（2）分段列剪力方程和弯矩方程￿由于C截面处作用有集中力F，故将梁分为AC段和CB段AC段：在距A端为x1的任意截面处假想将梁切开，取左段 梁研究，剪力V（x1）和M（x1）按正向假设，如图3.10（b）￿￿ V（x1）＝FA＝Fb/l（0＜x1＜a）￿M（x1）＝FAx1＝Fb/lx1（0≤x1≤a）CB段：在距A端为x2的任意截面处假想将梁切开，取左段 梁研究，剪力V（x2）和M（x2）按正向假设，如图3.10(c)。

￿￿ V（x2）＝FA－F＝Fb/l－F＝-Fa/l（a＜x2＜l）￿M（x2）＝FAx2－F（x2－a）＝Fa（l-x2）/l（a≤x2≤l）（3）画剪力图和弯矩图￿V图：AC段和CB段的剪力图均为一条平直线￿￿ AC段V（x1）＝Fb/l￿CB段V（x2）＝-Fa/l￿画出剪力图如图3.10(d)所示￿M图：AC段和CB段弯矩方程均为一次函数，相应的弯矩图均为斜直线，两点可确定一条斜直线￿当x1＝0时，MA＝0；￿当x1＝a及x2＝a时，MC＝Fab/l；￿当x2＝l时，MB＝0￿观察上述各例，可归纳出梁在常见荷载作用下V图和M图的规律如下：￿①在无荷载梁段，V图为水平直线，M图为斜直线；￿②在均布荷载作用的梁段，V图为斜直线，M 图为二次抛物线； ③在集中力作用处，V图发生突变，突变值等于集中力的大小；M图发生转折（即出现尖点）；￿④在集中力偶作用处，V图无变化，M图有突变，突变值等于该力偶矩的大小；￿⑤剪力等于零处，弯矩存在极值￿图3.9 例3.4图图3.9 例3.4图图3.10 例3.5图 图3.10 例3.5图 图3.10 例3.5图 当梁上有几个荷载作用时，可先分别作出各简单荷载作用下的剪力图和弯矩图，然后将它们相应的纵坐标叠加，就得到在所有荷载共同作用下的剪力图和弯矩图，这种方法称为叠加法，具体做法参 见有关文献。

￿静定梁在各种简单荷载作用下的剪力图、弯矩 图见表3.1￿3.1.3.2 叠加法绘制梁的内力图￿￿ 表3.1静定梁在简单荷载作用 下的剪力图和弯矩图3.2 钢筋混凝土受弯构件梁的截面形式主要有矩形、Ｔ形、倒Ｔ形、Ｌ 形、I形、十字形、花篮形等，如图3.11所示板的截面形式一般为矩形、空心板、槽形板等 ，如图3.12所示 梁、板的截面尺寸必须满足承载力、刚度和裂缝控制要求，同时还应利于模板定型化 3.2.1 构造要求 3.2.1.1 截面形式及尺寸 按刚度要求，根据经验，梁、板的截面高跨比 不宜小于表3.2 （详见P67）所列数值￿从利用模板定型化考虑，梁的截面高度h一般可取250、300、…、800、900、1000mm等，h≤800mm时取50mm的倍数，h＞800mm时取100mm的倍数；矩形梁的截面宽。