高一函数单调性完整.docx

高一函数单调性完整版作者:日期:函数的单调性*3 学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性)，能应用函数的基本性质解决一些问题2)从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.(3) 了解奇偶性的概念，回会利用定义判断简单函数的奇偶性‘七?一重点与解点一 (1)判断或证明函数的单调性；(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断Q…学习过程.一【学习导航】1 .从特殊到一般，掌握增函数、减函数、单调区间的概念2 .会根据图像说出函数的单调区间，并能指出其增减性3 .会用定义证明一些简单函数的单调性.f (x) x2的图象在y轴右侧是 的.自学评价观察函数f(x) x, f(x) x2的图象从左至右看函数图象的变化规律：(1) . f(x) x的图象是 的，f (x) x2的图象在y轴左侧是 的,2 .一.(2) . f (x) x在(，)上，f(x)随着x的增大而;f(x) x在(，0］上,2 .f (x)随着x的增大而; f (x) x在(0,)上，f (x)随着x的增大而 ・、函数的单调性1.单调函数的定义(1)增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I :如果对于属于I内某个区间上的任意 两个自变量的值 x1、x2，当为 x2时都有f(x1) f (x2)，那么就说f (x)在这个区间 上是增函数。

2)减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 *2时都有f(x1) f(x2),那么就说f (x)在这个区间上是减函数3)单调性：如果函数y f(x)在某个区间是增函数或减函数那么就说函数y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y f(x)的单调区间2、单调性的判定方法(1)定义法：判断下列函数的单调区间:(2)图像法：从左往右，图像上升即为(3)复合函数的单调性的判断：增函数，从左往右，图像下降即为减函数设 y f (x), u g(x) , x [a,b]u ［m,n］都是单调函数，则y f［g(x)］在［a,b］上也是单调函数①若y f(x)是［m,n］上的增函数，则yf［g(x)］与定义在［a,b］上的函数ug(x)的单调性相同②若y f(x)是［m,n］上的减函数，则yf［g(x)］与定义在［a,b］上的函数ug(x)的单调性相同即复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)(1 )函数y 442x 的单调递减区间是,单调递增区间(2) y —x2 的单调递增区间为4x 53、函数单调性应注意的问题:①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区 间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).③函数在定义域内的两个区间A B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数例题精讲;二函数单调性的证明.例题分析1 例1,证明：函数f(x) -在(0,)上是减函数。

x证明：设任意 X1 , x2 c (0, +8)且x1 x2,0,则 f(Xi) f(x2)- - ^1,x1 x2x1 x2由 x1，x2e(0,+8)，得为*20 ,又 xix2,得x2xi・•・ f(xi) f(x2) 0,即 f(x1) f(x2)1所以，f(x)—在(0,)上是减函数x、、……、一一、I 一一，1说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如： y -不能说 x(,0) (0,)是原函数的单调递减区间；练习：1 ..根据单调函数的定义，判断函数f (x) x3 1的单调性2.根据单调函数的定义，判断函数f (x) x的单调性例2,，下图是定义在区间［-5 , 5］上的函数y根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？思维点拔：观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域k例3, 物理学中的玻意耳定律 p 口(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之.k思维点拔：只需证明函数 p —在区间0,上是减函数即可.V三，函数单调性的应用x例 4. f(x)是te乂在(0, +8)上的增函数，且 f(_)= f(x)-f(y)(1)求f(1)的值.(2)若 f(6)= 1 ,解不等式 f( x+3 )-f(-) <2 .x.解析：①在等式中 令x y 0,则f(1)=0.②在等式中令 x=36, y=6 则 f(36) f(36) f (6), f(30 2f(6) 2.1、故原不等式为：f(x 3)f(-)f (36)，即 f[x(x+3)]vf(36),x又f(x)在(0,)上为增函数，.153 3x 3 01 故不等式等价于： 1 00x0 x(x 3) 36例5.函数f(x)= —x3+ 1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论..解析：f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设 x1、x2C( —8, +oo ), xK x2 ,则 f(x1)= — x13+ 1 , f(x2)= — x23 + 1 . f(x1)一 f(x2)=x23 —x1 3=(x2— x1)(x12+ x1x2+ x22)=(x2— x1) [ (x1 + x )2+ : x221 .・x1〈x2,x2—x1 > 0 而(x1+ /)2+ [ x22> 0, •- f(x1)>f(x2).「•函数f(x)=—x3+1在( — °°, +oo )上是减函数.例6.试讨论函数f(x)= W'1 x2在区间［—1, 1］上的单调性..解析：设 x1、x2 € — 1 , 1 ]且 x1 Vx2,即一1 W xK x2< 1 .f(x1)—f(x2)=记 x12 — «1 x222 2(1 A ) (1 x2 )(x2 x1)(x2 x1)2.2x1 1 x29x1 12乂2x2— x1 > 0, \f1 x〔 V1 x2 > 0,. .当 x1 >0, x2>0 时，x1+x2>0,那么 f(x1)>f(x2).当 xk0, x2<0 时，x1 + x2<0,那么 f(x-)Vf(x2).故f(x)= V1 x2在区间［—1, 0］上是增函数，f(x)= v1 x2在区间［0, 1］上是减函数.例7.设函数f(X)= VX21 — aX, (a>0),试确定：当 a取什么值时，函数f(X)在0,)上为单调函数..解析：任取X1、X2C 0, + 且X1VX2,则f(X1) — f(X2)= Jx；2 2X1 X22 1 . X22=—a( X1 — X2)1=(X1-X2)(一2 X1XiX2=—a)1⑴当a>1时，-= X12X1 X2=v 1,1又「X1 —X2V0, f(X1) — f(X2)> 0,.•.a>1时，函数f(X)在区间［0即 f(X1) > f(X2)十 °° )上为减函数.(2)当0vav1时，在区间[0, +8]上存在 xi=02aX2= 21 a2，满足 f(Xi)=f(X2)=1・・•0vav1 时，f(x)在［0 , 十上不是单调函数注：①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中X12X1 X2=<1利用了 x x1 2 1 > |X1|>X1； y X221 ,1 >X2 ；③从a的范围看还须讨论 0vav 1时f(X)的单调性，这也是数学严谨性的体现.m的取值例8.已知f(X)是定义在(一2, 2)上的减函数，并且 f(m-1)-f(1 -2m)>0,求实数 范围.解析：•••f(X)在(-2, 2)上是减函数・•.由 f(m- 1)-f(1 -2m)>0,得 f(m—1)>f(1 — 2m)2 1 2m 2,即1 1 2m“ 1 1解得-22 ，………m - , m的取值范围是31 2 (-2,3)例9.已知函数f(x)=：x一”刍， x(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值;2(2)若对任意xC［1, +oo ), f(x)>0恒成立，试求实数 a的取值范围..解析:(1)当 a=1 时，f(x)=x+ — +2, xC1,+8)22xf(x2)— f(x1)=x2+ 2x21,. . x1 x21、1 x2 — x1 > 0, 1 2x1x2>0,则 f(&)>f(x1)x1 ——=(x2— x1)+ -=(x2—x1)(1 ——)可知f(x)在［1, +°°)上是增函数.f(x)在区间［1 ,)上的最小值为f(1)= 7 .2.x2 2x a(2)在区间［1, +oo )上，f(x)=>0恒成立x2 + 2x+ a>0恒成立x设 y=x2+2x+ a, xC1, 十°° ),由 y=(x+1)2+a—1 可知其在［1, 十00)上是增函数，当x=1时，ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0时函数f(x)>0恒成立.故a>—3.【拓展训练】1 .下列函数中，在(，0)上为减函数的是()A.y=3x B.y=-x2 C.y=| x |D.y=2x+12 .函数f(x) (k 1)x 3在(，)上单调递减，则k的取值范围是()A.k>0B.k<0C.k>-1D.k<-13 .函数y x2 6x 10在区间(1,4)上为()函数.A.单调递增B. 单调递减 C.先增后减D.先减后增4 .已知函数f (x)在(—2, 3)上是减函数，则有()A.f(-1)

2)B. (-7, -2)D. (0, 5)在区间(一2, +oo )上单调递增，则实数 a的取值范围是( — 2,。