(word完整版)高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系.doc

同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α.【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】　(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知cos α＝－，求sin α和tan α.[解]　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－，tan α＝＝－.(2)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．【对点训练】已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－.题型二、化切求值【例2】　已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)sin2α＋cos2α.[解]　(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝－；(3)原式＝＝＝＝.【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)；(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2 α.解：(1)＝＝＝－1.(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝，这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝1.题型三、化简三角函数式【例3】　化简tan α，其中α是第二象限角．[解]　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α＝tan α＝tan α＝·＝·＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)；(2) ，θ是第二象限角．解：(1)＝＝＝cos θ.(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，故＝＝＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】　求证：＝.[证明]　法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝＝，右边＝＝＝＝＝，∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：＝证明：∵左边＝＝＝＝＝＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】1．已知α∈，sin α＝，则cos α等于(　　)A.　　　　　　　　 B．－C．－ D.解析：选B　∵α∈且sin α＝，∴cos α＝－＝－＝－.2．若α为第三象限角，则＋的值为(　　)A．3 B．－3C．1 D．－1解析：选B　∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝.答案：4．若tan α＝2，则的值为________．解析：原式＝＝＝＝.答案：5．化简： .解：原式＝＝＝＝1.。