四年级上册奥数知识点名师讲解第3课.doc
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四年级上册奥数知识点名师讲解第3课《定义新运算》练习题及答案 四年级I：册奥数知识点名师讲解第3课《定义新运算》练习题及答案 四年级奥数上册：第三讲定义新运算笫三讲定义新运算我们学过的常用运算有：+、-、X、*等.如：2+3=52X3 = 6都是2和3,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法 则不同•可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同 就是不同的运算•当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有 一个唯一确定的数与它们对应•只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运 算•在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的： “X： 运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算例1设a、b都表示数，规^aAb = 3Xa—2Xb,① 求 3A2, 2A3；② 这个运算”有交换律吗？③ 求A2, 17A（6A2）；④ 这个运算”有结合律吗？⑤ 如果己知4Ab = 2,求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本 质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍•解：①3A2= 3X3-2X2 = 9-4= 52A3=3X2-2X3=6-6 = 0.② 由①的例子可知”没有交换律.39；再计算第二歩③ 要计算（17厶6）A2,先计算括号内的数，有：17A6 = 3X17-2X6 = 392X2 = 3 X 39-2X2 = 113,所以(17A6)△2 = 113.对于(6ZX2)・同样先计算括号内的数.62X2 = 3X6-2X2 = 14・其次17A14 = 3X17-2X14 = 23,所以 （6A2）=23.④ 由③的例子可知“△"也没有结合律 ⑤因为4Ab = 3X4~2Xb = 12-2b, 那么12-2b = 2,解出b = 5・例2定义运算※为a^b = aXb- （a+b）,①求5※仁了※5；② 求贬※（3探4）, （12探3）※心③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果彳※彷※*） =3,求x・解：① 5^7 = 5X7-（5 + 7）=35-12 = 23, 了※ 5= 7X5-（7 + 5）=35-12 = 23・②要计算辽※（3探4）,先计算括号內的数，有：3淪=3><4-（3 + 4） =5,再计算第二歩空※5 = 12X5- （12 + 5）=43,所以匹※（3探4）=43.对于（12探3）※乞同样先计算括号内的数，12探3=12><3- （12 + 3）= 21,其次21J><4 = 21X4-（21 + 4）=59,所以（辽※ 3）探4 = 59•③由于a^b = a Xb— （a + b）；b^) ®)c= (aXb + a+ b)㊉c= b + a +b) Xc + a^b + a + b + c=abc + ac + be + ab + a + b + c.a ㊉(b ㊉ c)=巾㊉〔t)Xc + b + c) =aX〔bXc+b + c) 4-a + bXc + b + c=abc + ab + ac + a 4- be + b + c=abc + ac + be + ab + a + b + c.（普通加法的交换律」所以（a㊉b） ©c = a© （b©c）,因此"㊉"满足结合律.说明：㊉对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ㊉（2 + 3）=1 ㊉5 = 1X5+1 + 5 = 11；1 ㊉ 2 + 1 ㊉ 3 = lX2 + l + 2 + lX3 + l + 3= 5 + 7 = 12,因此1㊉（2+3）弄［㊉2 + 1㊉3.例4有一个数学运算符号",使下列算式成立：2超4 = & 5® 3 = 13, 3®5 = 11, 9®7 = 25,求703=?解：通过对 2®4 = 8, 5®3=13, 3®5=-ll, 9®7 = 25这几个算式的观察，找到规律:a®b = 2a®b,因吐匕7®3 = 2X7 + 3 = 17.例5 x、y表示两个数，规定新运算 作”及”如下：X*y=mx+ny, xA y=kxy,其中 m、m k均为自然数，已知 1*2二5, (2*3)A4=64,求(1A2) *3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1ZX2)*3的值，首先 我们要计算仏2,根据“X的定义：lA2=kXix2=2k,由于k的值不知道， 所以首先要计算出k的值・k值求出后，1A2的值也就计算出来了，我们设 2=a.(1A2)*3二护3,按的定义：曲3二在只有求岀m、n时，我们 才能计算曲3的值•因此要计算(1A2)* 3的值，我们就要先求岀k、in、n的 值•通过1*2二5可以求岀in、n的值，通过(2*3)A4-64求岀k的值.解：因为1*2二mXl+nX2二*2n,所以有i卄2n二5•又因为m、n均为自然数，所以解岀：m = 23（舍去） n=2① 当itfI, n二2时：（2*3）A4=（IX 2+2X3）A4 =8A4=kX8X4=32k 有32k二64,解岀k二2.② 当rf3,门二1时：（2*3）A4=（3X 2+1X3）A4二 9Z\4二kX9X4二 36k7有36k = 64,解岀k = 1 —,这与k是自然数矛盾，因jlbm = 3, n = l, yk = 1?这组值应舍去.所以jtfI, n=2, k二2.（1A2）*3=（2X1X2）*3二 4*3二IX 4+2X3=10.没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不 放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值•还有一个值得注意的问题是：定 义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在四年级奥数上册：笫三讲定义新运算习题习题三山壮表示站3倍减去b的g ,例如： 1*2 = 1X3-2x1 = 2,根据以上的规定,计算：① 10*6 ② 7*(2*1).2•定义新运算为由Ob = + b① 求20(304)的值；② 若x 04 = 1.35,贝Ijx = ?3•有一个数学运算符号。
使下列算式成立:11 5 1 6°742，求吕£的值4•定义两种运算“㊉J “O ”，对于任意两个整数乳b, 刃㊉b = a + b -1, a® b = aXb -1,① 计算4超((6㊉8)㊉(3㊉5))的值；② 若x㊉(x 04) =30,求z的值5•对于任意的整数x、y,定义新运算xAy = 一］二I (其中m是一个确定的整数)， mXx + zXy如果 1Z\2二2,则 2A9=?6•对于数弘b规定运算“V”为丹b= (a+1) X (1-b),若等式 QVQ V (a + 1) = (a + 1) V (aVa)成立，求站值.7•作”表示一种运算符号，它的含义是：1 1旳=腐仗+l)(y+Q已知2*1 =1 12X1 * (2 +)(1+ A)2=已求199叙1999的值.8.做匕=邑牛，在况※貯※:I)= 6中，求z的值 a^b9•规定aAb=a+ (、ai+l) + (、ai+2)+•・•+〔ai+bT),(卫、b均为自然数，b> a)如果xAl 0=65,那么x二?10•我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：5 ° 3二3 5二5,符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5ZX3二3ZX5二3,计算：17) f …23’—j + ^0.625A —四年级奥数上册：第三讲定义新运算习题解答习题三解答1•解：©10*6 = 10X3・6><丄=30・3 = 27 乙②7*(2*1) =7* 2X3-1X=7*5.51= 7X3-5.5X -218.25.2•解：2©(3©4)= 2©-^=2©1_ 2 + 1=~T=3.②按照规定的运算:②按照规定的运算:芸4 = —所以有—丄=1.35,解出x = 4.43•解:2 3 4 7 11 5 1 6」2 3 6^5 9 45?6 7 42aX c这几个算式的观察，找到规律为：-o- b + d a c3 4因此打。
亏=7554•解：4®[(6㊉&㊉(3㊉5)] = 4®[(6 + 8 + l)㊉(3 + 5-1)] =40[13 ㊉ 7]= 40(13 + 7-1)= 4019= 4X19-1 = 75.②因为x㊉(x ®4)二芸㊉〔411)= x+4x-l-l所以有5x-2二30,解岀x二6・4・5•解：按照规定的运算仏2 =6X1X2 12mXl + 2X2 = m+4‘12所以有 =2,解岀m = 2.于是,m + 42A9 =6X2X92X 2 + 2X 954n=4ioTT6.解：先看等式 QVQ V (a + l) = (a + 1) V (aVa)的 左边：(aVa)V(a + 1) = [(a + 1) X (1 - a)]V(a + 1)= (l-a2 )V(a+l)= (l-a2 +l)x[l-(a + l)]=a2 + 2a再看等式(aVa) V (a + l) = (a + 1) V (aVa)的右边:(a + l)V(aVa) = (a + l)v[(a + 1) X (1 - a)]•1"£朧Z 一■ (q+wz +I n(2)律+F弋立當”詈dgl 6 =临疋6叮+遴諏OA烹迢OHE + SE翳+丸n 石丄TX71 + CT 可丄>(l + e〒。
