第十三章 函数列与函数项级数一、证明题1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：(1) fn(x)=,n=1,2,…,D=(-1,1);(2) fn(x)=,n=1,2,…D=(-∞,+∞);(3) fn(x)= (n=1,2……);(4) fn(x)=, n=1,2,…, (i) D=[0,+∞]; (ii) D=[0,1000];(5) fn(x)=sin, n=1,2,…, (i) D=[-L,L]; (ii) D=[-∞,+∞];(6) , D=[-∞,+∞];(7) , (i) D=[-∞,+∞]; (ii) D=.2. 证明:设f(x)→f(x),x∈D; an→0(n→∞),(an>0),若对每一个自然数n.有|fn(x)-f(x)|≤an, x∈D,则{fn}在D上一致收敛于f.3. 设{fn}为定义在[a,b]上的函数列,且对每一个n,fn在点a右连续,但{fn(an)}是发散的,证明在任何开区间(a,a+δ)这里(a+δ0);15. 证明函数ξ(x)=在(1,+∞)内连续,且有连续的各阶导数.16. 证明:若函数列{fn}在x0的某δ邻域U(x0,δ)内一致收敛于f,且,则与存在且相等,即=17. 设f在(-∞,+∞)上有任何阶导数,记Fn=f(n),且在任何有限区间内,Fn→(n→∞),试证 (x)=cex(c为常数).二、计算题1. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1) ;(2) ;(3) ; (4) .2. 讨论下列函数列或函数英级数在所示区间D上的敛散性:(1) (2) ;(3) , D=[-1,1];(4) , D=(0,+∞)(5) , D=(0,+∞)(6) , D=[-1,0];(7) D=[-1,1]3. 设S(x)=,x∈[-1,1],计算积分.4. 设S(x)=,x∈(-∞,+∞),计算积分.5. 设S(x)=(x>0),计算积分三、考研复习题1. 试问K为何值时,下列函数列{fn}一致收敛:(1) fn(x)=xnke-nx,0≤x<+∞;(2) 2. 证明:(1)若fn(x)→f(x)(n→∞)(x∈I),且f在I上有界,则{fn}至多除有限项外,在I上是一致有界的;(2) 若fn(x)f(x) (n→∞)(x∈I),且对每一个自然数n,fn在I上有界,则{fn}在I上一致有界.3. 设f为上的连续函数,证明:(1) {xnf(x)}在上收敛;(2) {xnf(x)}在上一致收敛的充要条件是f在上有界且f(1)=04. 若把定理13.9中一致收敛函数列{fn}的每一项在[a,b]上连续改为在[a,b]上可积,试证{fn}在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积.5. 证明: 由二重极限(cos2n(m!πx))所确定的极限函数是狄利克雷函数.6. 设级数收敛,证明=.7. 设可微函数列{fn}在[a,b]上收敛,{n}在[a,b]上一致有界,证明:{fn}在[a,b]上一致收敛.。
