高二数学空间角与距离的向量解法课件 人教版 课件.ppt

空间“角”与“距离”的向量解法,向量的有关知识：,两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b,两向量夹角公式：cos a,b =,直线的方向向量：与直线平行的非零向量,平面的法向量：与平面垂直的向量,一空间“夹角”问题,1.异面直线所成角,注意异面直线夹角的范围与两向量夹角范围的区别,转化成求两向量（直线的方向向量）的夹角或其补角,设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ， 则 而利用 可求 ， 从而再求出,2. 线面角,3. 二面角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角如图（2），设二面角 的大小为 其中AB ,则,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角如图，向量 ， 则二面角 的大小 ,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,法向量法,例1 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz设底面三角形的边长为 ，侧棱长为b,则 C(0,0,0),故,由于 ，所以,则可设 =1， ， 则B(0,1,0),作 于E, 于F， 则 即为二面角 的大小,在 中， 即E分有向线段 的比为,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值为,解法二：同法一，以C为原点建立空间直 角坐标系 C-xyz,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得 ，,解得,所以，可取,方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,即二面角 的余弦值为,二空间“距离”问题,1. 空间两点之间的距离,根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题,二空间“距离”问题,2. 点到面的距离,设n为平面 的一个法向量，AB是面 的一条斜线，A为斜足。

根据向量在轴上射影的概念 ，点B到面 的距离等于向量 在n上的射影的长度， 所以,二空间“距离”问题,3. 异面直线间的距离,例2 如图，ABCD是矩形， 面ABCD， PD=DC= , AD= ，M、N分别是 AD, PB的中点，求点A到面MNC的距离,解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则D(0,0,0)，A( ,0,0)，B( , ,0)， C(0, ,0)，P(0,0, ),由于M,N分别是AD,PD的中点 所以M( ,0,0)，N( , ，,设 为面MNC的一个法向量， 故,解得 ，,故可取,所以， 在 上的射影长,即点A到面MNC的距离为,1. 已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1） 求证： 直线 面MAC （2）求二面角 的余弦值,三巩固练习,2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F 分别是AB,AD中点，GC 面ABCD,且GC2， 求点B到面EFG的距离,本节课我们主要介绍了空间“角”与“距离”的向量解法我们发现，引入“空间向量”这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便而且，我们还发现，在立几图形中合理建立空间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，是解题的关键。

事实上，它是完成从几何问题向代数问题转化的基础四小结,五作业,如图所示立体图形中,BAC= DAB= ，DAC= ， AC=4，AB=3，求二面角BADC的大小,思考题：正三棱柱 的所有棱长均为2，P示侧棱 上任一点 （1） 求证： 不可能与平面 垂直 （2） 当 时，求线段AP的长 （3）在（2）条件下，求二面角 的大小,谢谢！ 再见！,。