函数的值域求法集锦.doc

题型三：分式函数的值域题型三：分式函数的值域例 1．求函数的值域132)(xxxf解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去则可以换元，令，原函数变为，由反比例函数的性质可知，值域为1 xtttt1212 , 22 ,U解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域令，则，得到，可知132)(xxxfy32 xyyx23 yyx2y解法三：解析几何法考虑数形结合，联想到分式表示两点间连线的 2121 xxyy 斜率，则讲原函数写为，可以看成是两点连线的  132  xxxx 2 ,,3, 1斜率，其中是动点，构成直线轨迹，则连线必须与相交，xx 2 ,xy2xy2所以连线斜率不能是 2，得到值域例 2．求函数在的值域132)(xxxf 10，解法一：分离变量之后采用函数图像法，令，，原函数变为1 xt 2 , 1t，可以画出的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为ttt1212 t12 325，解法二：反函数法，将代入中，求解不等式，23 yyx 10，1230yy可以得到值域范围。

 325，解法三：解析几何法可以看成是两点连线的  132  xxxx 2 ,,3, 1斜率，其中是动点，不在构成直线，而是构成在区间的线xx 2 ,xy2 10，段，画出图像后观察可得斜率的范围为 325，例 3．求函数的值域133)(2xxxxf解法一：分离变量法，令，原函数变为1 xt1112  ttttt由均值不等式可知当，当，可以得到原函数21, 0ttt21, 0ttt的值域为 , 31,U解法二：判别式法，令，则，133)(2xxxxfy332xxyyx整理得关于的一元二次方程，满足方程有解，该x0332yxyx方程的判别式可得,即函数的值03432yy31yy或域为 , 31,U解法三：解析几何法，，可以看成 ) 1(033 133)(22xxx xxxxf是两点之间连线的斜率，而是动点，0 , 1,33,2 xxx33,2 xxx恰好构成的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得332xxy到函数的值域。

例 4．求函数在的值域133)(2xxxxf 10，解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域令，，原函数变为1 xt 2 , 1t1112  ttttt画出对勾函数的图像，可以得到的值域范围是，则最后函数的值tt1  252，域为  273，题型四：三角函数的值域题型四：三角函数的值域例 5．求函数的值域2cos4sin3)(xxxf解答：使用辅助角公式，，可2sin52cos4sin3)(xxxxf知函数的值域为 73，例 6．求函数的值域2cos4sin23)(2xxxf解答：先化简，都转为一次三角函数后使用辅助角公式， 42sin13222cos22sin32cos4sin23)(2xxxxxxf可知函数的值域为134134，例 7．求函数的值域2cos4cos2)(xxxf解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域1cos4cos22cos41cos22cos4cos2)(22xxxxxxxf令，则原函数化为，则按前1 , 1,costxt11214222ttt面的例题可得函数的值域为，31，例 8．求函数的值域xxxxfsin2cos2sin2)(解答：利用来换元。

 2cossin1 21cossincossin22xxxxxxxxxxxxxxfcossin2cossin1cossin2cossin2)(2令，则原函数化为，同理，按2,2,cossintxxt122tt二次函数的值域求法，可得结果221，例 9．求函数的值域3cossin)(xxxf解法一：辅助角公式法类似于二次分式的判别式法，令，则3cossin xxy可得，利用辅助角公式后xyxyxyxycossin3,sin3cos，则要求， x yyxyysin 13,sin13 221 132  yy可解出值域范围  22 22，解法二：解析几何法三角分式也可以看为，即两点3cos0sin  xx连线的斜率，其中是动点，构成的轨迹xx sin,cos,0 , 3xx sin,cos是圆心在原点，半径为 1 的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域  22 22，例 10．求函数在上的值域3cossin)(xxxf  22，解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点构xx sin,cos成的轨迹为右半圆，这样，可得结果  33 33，题型五：绝对值函数的值域题型五：绝对值函数的值域例 11．求函数的值域15)(xxxf解法一：零点分类讨论法。

当时，；当时，1x6)(xf5x；当时，所以函数的值域为6)(xf15x42)(xxf66，解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，分别表示到-515xx与x与 1 的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为66，例 12．求函数的值域322)(22xxxxxf解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令，, 1,22txxt则原函数化为，则根据数轴法，可以得到函数的值域为3 tt33，题型六：根式函数的值域题型六：根式函数的值域例 13．求函数的值域xxxf1)(解法一：换元法，令，则原函数化为，根, 0,1txt12tt据二次函数值域的求法，可得原函数值域为 ,45解法二：解析几何法，令，，可, 0,1yxyyxxfz)(得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过zxy上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的, 0,1yxy值域 ,45例 14．求函数的值域xxxf1)(解法一解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果 , 1解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域，代 , 1入可得函数的值域。

 , 1例 15．求函数的值域21)(xxxf解法一：三角换元法，令，这样换元既可以保证换 2,2,sinx元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，4sin2cossincossinsin1sin122xx注意，画出三角函数图像可得值域为 2,22, 1解法二：解析几何法，令，，可得 1 , 0,12yxyyxxfz)(，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过zxy，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域 1 , 0,12yxy2, 1例 16．求函数的值域212)(xxxf解法一：三角换元，类似于上一道题，令，这样可2,2,tanx以得到， cos2sin cos2tantan12tan1222xx化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为, 3解法二：解析几何法，类似于上一道题，令，, 1,12yxy，可得，即函数的值可以看成是直线的截距yxxfz2)(2zxy的 2 倍，而直线必须通过即双曲线的上半支，通过作, 1,12yxy图可知相切时取得截距的最小值，得到值域。

, 3解法三：对勾换元法，利用进行换元，令121 221 222 xx xx，则原函数化为，, 0,21 2tttxtt tt tt 21 23 21 2221 2根据均值不等式可得值域, 3例 17．求函数的值域25652)(22xxxxxf解答：先配方，可得，利用解析几22224321)(xxxf何法，类比两点距离公式可以转化为到两点距离和，作0 , x4, 3,2 , 1图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为,102部分练习 求下列函数的值域：1. 2x2x-)(2xf2. 6x4xlog)(221xf3. 1)(22xxxxxf4. 13213)(xxxf5. x- 1x3131)(xf6. 1cosx7cosx6x2cos)(xf7. 2cos2sin)(xxxf8. 6sin2cos2)(xxxf9．9612)(22xxxxxf10. xxxf243)(11. xxxxf22)(212. xxxf11)(13．1)(2xxxf。