北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题.pdf

北京大学北京大学 1997 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、 （10 分）将函数22( )arctan1xf xx=−在0x =点展开为幂级数，并指出收敛区间 二、二、 （10 分）判别广义积分的收敛性： 0ln(1)dpxxx+∞+∫ 三、三、 （15 分）设( )f x在(),−∞ +∞上有任意阶导数( )( )nfx，且对任意有限闭区间[], a b，( )( )nfx在[], a b上一致收敛于( )()x nφ→ +∞，求证：( )xxceφ=，c为常数 四、四、 （15 分）设0(1,2)nxn>=⋅⋅⋅及limnnxa →+∞=，用Nε−语言证明：limnnxa →+∞= 五、五、 （15 分）求第二型曲面积分( ddcosd dd d )Sxyzyzxxy++∫∫ ，其中S为2221xyz++=的外侧 六、六、 （20 分）设( , )xf u v=，( , )yg u v=，( , )ww x y=有二阶连续偏导数，满足fg uv∂∂=∂∂，fg vu∂∂= −∂∂，22220ww xy∂∂+=∂∂，证明： （1）2222()()0fgfg uv∂∂+=∂∂， （2）( , )( ( , ), ( , ))w u vw f u v g u v=满足22220ww uv∂∂+=∂∂。

七、七、 （15 分）计算三重积分2225/2222:2()d ddxyzzxyzxyzΩ++≤++∫∫∫ 北京大学北京大学 1998 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、 （26 分）选一个最确切的答案，填入括号中： 1.设( )f x定义在[ , ]a b上， 若对任意的([ , ])gR a b∈， 有([ , ])f gR a b⋅∈， 则 （ ） A.([ , ])fR a b∈， B.([ , ])gC a b∈， C.f可微， D.f可导 2.设(( , ))fC a b∈， 若存在lim( )1 xaf x → +=，lim( )2 xbf x → −=， 则 （ ） A.( )f x在[ , ]a b一致连续， B. ( )f x在[ , ]a b连续， C. ( )f x在( , )a b一致连续， D. ( )f x在( , )a b可微 3.若反常 （广义） 积分10( )df xx∫，10( )dg xx∫都存在， 则反常积分10( ) ( )df x g xx∫（ ） A.收敛， B.发散， C.不一定收敛， D.一定不收敛。

4.若lim1nnna →∞=，则1n na∞=∑（ ） A.发散， B.收敛， C.不一定收敛， D.绝对收敛 5.设( , )f x y在区域22{( , ):1}x yxy+ 2.201cotlim() xx xx→− 3. 011lim2nxxnn∞→ +=∑三、三、 （10 分）求下列积分值： 1.322ddd dd dSxyzx yzxx zxy++∫∫，222:0,,S zzb xya==+= 2.11ddCxyyx+∫，:1,4,C yxyx===逆时针一周 四、四、 （16 分）解答下列问题： 1.求幂级数1( 1) !nn nnnxne∞=−∑的收敛半径 2.求级数02 (1) !nnn n∞=+∑的和 五、五、 （24 分）试证明下列命题： 1.反常积分20sind1pxxx+∞+∫(0)p ≥是收敛的 2.设( , )f x y在22{( , ):1}Gx yxy=+，则必存在( , )a bξ∈，使得( )0fξ= （ ） 3.设( )f x在[ , ]a b上有界，若对任意的0δ>，( )f x在[, ]abδ+上可积，则( )f x在[ , ]a b上可积。

（ ） 4.设( )f x，( )g x在[0,1]上的暇积分均存在，则乘积( )( )f xg x⋅在[0,1]上的暇积分必存在 （ ） 5.设级数1n nb∞=∑收敛，若有nnab≤，(1,2,)n =⋅⋅⋅，则级数1n na∞=∑必收敛 （ ） 二、二、 （40 分）求下列极限值（写出计算过程） ： 1.20tan(1 cos )lim log(1)(1)xxaxbxxeαβ−→+−−+−，22(0)aα+≠ 2.2sinsinsinlim()111 2nnn nnnnππ π→∞++⋅⋅⋅++++3.120lim(1) dnnxx →∞−∫4.lim 1nnna →∞+，(0)a > 三、三、 （45 分）求解下列命题： 1.求级数023n n nn∞=∑之和 2.设([0,1])fC∈， 且在(0,1)上可微， 若有7 818( )d(0)f xxf=∫， 证明： 存在(0,1)ξ∈，使得( )0fξ′=。

3.证明：级数1arctan( 1)nnn n∞=−∑收敛 4.证明：积分 0dxyxey+∞−∫在(0,)+∞上不一致收敛 5.设( , , )uf x y z=，2(,, )0yg x ez =，sinyx=，且已知f与g都有一阶连续偏导数，0g z∂≠∂，求d du x 6.设( )f x在[ 1,1]−上二次连续可微，且有 0( )lim0 xf x x→=，证明：级数11( )nfn∞=∑绝对收敛 北京大学北京大学 2000 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、计算（8 分×5=40 分） 1.求极限20()limxxxaxa x→+−，0a > 2.求22x xe−到含5x项的Taylor（台劳）展开式 3.求积分10dlnbaxxxx−∫，其中0ab>> 4.求积分222() d ddVxyzxyzα++∫∫∫，V是实心球2222,0xyzRα++≤> 5.求积分333ddd dd dSxyzyxzzxy++∫∫，S是2222xyza++=的外表面 二、二、叙述定义（5 分+5 分=10 分） 1.lim( ) xf x →−∞= +∞。

2.当0xa→−时，( )f x不以A为极限 三、三、 （13 分）函数( )f x在[ , ]a b上一致连续，又在[ , ]b c上一致连续，abc割下的部分 六、六、 （10 分）求极限2222222 401lim()d dd t xyztfxyzxyzt→ + ++≤++∫∫∫，其中f在[0,1]上连续， (0)0,(0)1ff ′== 七、七、 （10 分）求常数λ，使得曲线积分22dd0Lxxrxryyyλλ−=∫22()rxy=+对上半平面的任何光滑闭曲线L成立 八、八、 （10 分）证明函数11( )x nf xn∞==∑在(1,)∞上无穷次可微 九、九、 （10 分）求广义积分220arctan()arctan()dbxaxxx∞−∫，0ba>> 十、十、（10 分） 设( )f x是以2π为周期的周期函数， 且( ),f xxxππ=−≤的外侧 八、八、 （10 分）判断级数11lncosnn∞=∑的收敛性并给出证明 九、九、 （10 分）证明： （1）函数项级数1nxnnxe∞ −=∑在区间(0,)∞上不一致收敛； （2）函数项级数1nxnnxe∞ −=∑在区间(0,)∞上可逐项求导。

十、十、 （10 分）设( )f x连续， 0( )()dxg xyf xyy=−∫，求( )gx′′ 北京大学北京大学 2005 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、设22sin1( )sinsinxxf xxxx−=−，试求lim sup( ) xf x →+∞和lim inf( ) xf x →+∞ 二、二、证明下列各题： （1）设( )f x在开区间( , )a b可微，且( )fx′在( , )a b有界，证明( )f x在( , )a b一致连续 （2）设( )f x在开区间( , )a b()ab−∞ 方向向上 七、七、( , )f x y是2R上的连续函数，试作一无界区域D，使( , )f x y在D上的广义积分收敛 八、八、sin( )ln(1)pxf xx=+，讨论不同p对( )f x在(1,)+∞上积分的敛散性 九、九、记()1( , )n x ynF x ynye+∞ −+==∑，是否存在0a >以及函数( )h x在(1,1)aa−+上可导，且(1)0h=，使得( , ( ))0F x h x= 十、十、设( )f x，( )g x在[ , ]a b上黎曼可积，证明：( )f x，( )g x的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是( )( ) d0baf xg xx−=∫。

数学分析 2008 1． 证明有界闭区间上的连续函数一致连续. 2．是否存在(-∞,+ ∞)上的连续函数 f(x),满足 f(f(x))=e???证明你的结论. 3．数列{x?}(n≥1)，满足?n??,求证{x?}无界. 4．f(x)是(-1,1)上的无穷次可导函数,f(0)=1,|f′(0)|≤2,令 g(x)=?′???????,|g????0?|≤2n!.证明对所有正整数 n,|f??0?|≤(n+1)! [[本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正.]] [[本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正.]] 5．? ?y ? z?dydz ? ?z ? x?dzdx ? ?x ? y?dxdyΣΣ:球面x?? y?? z?? 2Rx被圆柱面x?? y?? 2rx(0，且( )( ( ))fxf f x′=？ 六、六、已知( )f x是[)0,+∞上的单调连续函数，且lim( )0 xf x →∞=，求证： 0lim( )sind0 nf xnxx+∞→∞=∫ 七 、七 、 求 曲 线 积 分()d()d()dLyzxzxyxyz−+−+−∫， 其 中L是 球 面2221xyz++=与 球 面222(1)(1)(1)4xyz−+−+−=交成的曲线。

八、八、设, ,0x y z ≥，xyzπ++=，求2cos3cos4cosxyz++的最大最小值 九、九、设( )( , )f xC a b∈，对任何( , )xC a b∈都有 0()()lim0 hf xhf xh h+→+−−≥，求证：( )f x在( , )a b上单调不减 十、十、已知( )f x是[)0,+∞上的正的连续函数，且 01d( )xf x+∞< +∞∫，求证：201lim( )dAAf xxA→+∞= +∞∫。