第13章-轴对称-几何综合题专题练习题(教师版).doc

人教版八年级数学上册第十三章 轴对称 几何综合题专题练习题专题(1)　等腰三角形的性质与全等三角形综合1.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD＝AE.2.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD，BE是两腰上的中线，求证：CD＝BE.证明：∵CD，BE是两腰上的中线，∴AD＝AE.在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB(SAS).∴CD＝BE.3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的延长线上的点，且BE＝CF.求证：DE＝DF.证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠DAF.又∵BE＝CF，∴AB＋BE＝AC＋CF.即AE＝AF.在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF(SAS).∴DE＝DF.4.已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：(1)∠1＝∠2；(2)OA⊥BC.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.(2)∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.在△ABO和△ACO中，∴△ABO≌△ACO(SAS).∴∠BAO＝∠CAO.∴AO平分∠BAC.∵△ABC是等腰三角形，∴OA⊥BC.5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD.(1)试说明：△BDE与△CFD全等的理由；(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数.解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，∴△BDE≌△CFD(SAS).(2)∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝70°.∵△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF.∵∠EDC＝∠B＋∠BED，∴∠EDF＝∠B＝70°.6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；(2)说明AF＝2BD的理由.解：(1)全等.理由：∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠BEC＝90°.∴∠EAF＝∠ECB，∠AEF＝∠BEC.又∵BE＝EF，∴△AEF≌△CEB(AAS).(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AF＝2CD.7.已知，如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，点E，F分别在AB，AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，问：(1)△BDE与△CFD全等吗？请说明理由；(2)判断DG与EF的位置关系，并说明理由.解：(1)△BDE与△CFD全等，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，∴△BDE≌△CFD(SAS).(2)DG⊥EF.理由：∵△BDE≌△CFD，∴DE＝DF.∵G是EF的中点，∴DG⊥EF.8.在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC，BD交于点M.(1)如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC与BD的数量关系为AC＝BD；②∠AMB的度数为40°.(2)如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求∠AMB的度数.解：(2)①AC＝BD，理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD.∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，∴△BOD≌△AOC(SAS).∴BD＝AC.②设OA，BD相交于点E.∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC.又∵∠AEM＝∠BEO，∴∠AMB＝∠AOB＝90°.专题(2)　角的平分线与线段的垂直平分线1.如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.求证：∠BAF＝∠ACF.证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵FE是AD的垂直平分线，∴FA＝FD.∴∠FAD＝∠FDA.∵∠BAF＝∠FAD＋∠BAD，∠ACF＝∠FDA＋∠DAC，∴∠BAF＝∠ACF.2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD为∠BAC的平分线.求证：点D段AB的垂直平分线上.证明：作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°.∵∠C＝90°，∴∠AED＝∠C.∵AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD(AAS).∴AE＝AC.∵AB＝2AC，∴AB＝2AE.∴BE＝AE.又∵DE⊥AB，∴DE是线段AB的垂直平分线，即点D段AB的垂直平分线上.3.如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式m＋3n＝120.解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP.∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°.∴3∠ABP＝96°.∴∠ABP＝32°.4.如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.求证：BD＝CE.证明：连接BP，CP.∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP.∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，∴DP＝EP.在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL).∴BD＝CE.专题(3)　特殊三角形中常见辅助线的作法1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝BC.若∠EAB＝20°，则∠BAC＝40°.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，则BC的长为12.3.如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD＝2.4.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝2.5.如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.证明：作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABE和△AFE中，∴△ABE≌△AFE(SAS).∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.6.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF.证明：连接OC.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB.∴OC＝OB，∠COB＝90°.又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.在△EOC和△FOB中，∴△EOC≌△FOB(ASA).∴OE＝OF.7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长.解：连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ADC＝90°.∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.∴AD＝2AE＝4.又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°，∴AC＝2AD＝8.∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.8.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°，求证：AB＝2BC.证明：作AM⊥BD，交BD延长线于点M.∵在Rt△ABM中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AM.∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.在△BCD和△MAD中，∴△BCD≌△MAD(AAS).∴BC＝AM.∴AB＝2BC.。