第三章直线与方程知识点总结与题型.docx

第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1 .当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 .则直线l的倾斜角的范围是0^2 .倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k tan .如 果知道直线上两点P(x,yi),P(X2,y2),则有斜率公式k 31.特别地是，当xi X2,X2 Xyi y2时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当xi x2 , yi y2时，直线与y轴垂直， 斜率k=0.注意：直线的倾斜角％ =90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当％ =90°时，斜率k=0;当090时，斜率k 0,随着％的增大，斜率 k也增大；当90180时，斜率k 0,随着％的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角口的范围与斜率 k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1 .对于两条不重合的直线ll、l2,其斜率分别为kl、k2,有：(1) li//l2 ki k2 ；⑵ li l2 ki k2 1 .2 .特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行， 都垂直于x轴；….直线的点斜式方程1 .点斜式：直线l过点%(小)0),且斜率为k,其方程为y y。

k(x x).2 .斜截式：直线l的斜率为k,在y轴上截距为b,其方程为y kx b.3 .点斜式和斜截式不能表示垂直 x轴直线.若直线l过点兄(x°,y°)且与x轴垂直， 此时它的倾斜角为90斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直 线方程为x比 0,或x比.4 .注意：匕2k与y y° k(x x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 x 比F0(x0,y0),后者才是整条直线.直线的两点式方程1 .两点式：直线l经过两点Pi(xi,yi), P2(x2,y2),其方程为工^ 工^,V2 yi x2 xi2 .截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b,其方程为？1i.a b3 .两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直 x、y轴及过原点的 直线.4 .线段P1P2中点坐标公式(J2, J2). 22直线的一般式方程1 . 一般式：Ax By c 0 ,注意A、B不同时为0.直线一般式方程Ax By C 0 (B 0)化为斜截式方程y -x C ,表示斜率为 公，y轴上截距为C B BBB的直线.2 .与直线l：Ax By C 0平行的直线，可设所求方程为Ax By G 0 ；与直线Ax By C 0垂直的直线，可设所求方程为Bx Ay Ci 0 .3 .已知直线11,12的方程分别是：li：Ax Biy Ci 0(Ai，Bi不同时为0),12 Ax B2y C2 0(A2B不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别：(1) 1i12AAb1b20;(2)1i //12AB2A2B0,ac2a2b10;(3) li 与 l2 重合 AB2A2Bi0,AC2 A2B1 0； (4) li 与 I2 相交AB2A2Bi 0.如果A2B2c2 0时，则I1//I23 生土； li与I2重合 3 巴匕；li与l2相交A2 B2 c2A2 B2c2A Bi. A B2 两条直线的交点坐标1 . 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 Aix即Ci 0.若方 A2x B2 y C20程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两 条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数 个公共点，此时两条直线重合.2 .方程(Ax Biy G) (A2x B2y C2) 0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定 点就是Ax B1y G 0与A2x B2y C2 0的交点.两点间的距离1.平面内两点P(xhyi), P2(x2,y2),则两点间的距离为：|肥| V(xi x2)2 (yi y2)2 .特别地，当P,P2所在直线与x轴平行时，下巳| |为x?i；当P1F2所在直线与y轴平行时，|PiP2llyi y2l;点到直线的距离及两平行线距离1 .点P(x0,y0)到直线l: Ax By C 0的距离公式为d 1A02cl.,A2 B22 .利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线li： Ax By Ci 0,l2： Ax By C2 0之间的距离公式d|Ci C2 |.A2 B2推导过程为：在直线l2上任取一点P(x0, y°),则 Ax0 By0 C2 0 ,即 A& By。

C2.这时点P(x0, y°)到直线li : Ax By C 0的距离为d| Ax0 By0 Ci | |Ci C2IA2—B2A2-B2对应练习一.选择题1 .(安徽高考)过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02 .过点P( 1,3)且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为()[A.2x y10B.2x y 5011C.x 2y50D.x 2y 703.已知过点A( 2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为()A. 0 B. 8 C. 2 D. 104 .(安徽高考)直线过点(-1 , 2),且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是()A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05 .设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin cos 0则a,b满足 ()A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A -3 B 、-6 C 、3 D 、2237.点P (-1 , 2)到直线8x-6y+15=0的距离为()A 2 B 1 C 1 D7228 .直线mx-y+2m+1=咯过一定点，则该点的坐标是A (-2,1) B (2, 1) C (1,-2) D (1, 2)9 .(上海文，15)已知直线 l1：(k 3)x (4 k)y 1 0,与lz：2(k 3)x 2y 3 0,平行，则k得值是()A. 1 或 3B.1 或 5C.3 或 5D.1 或 210、若图中的直线Li、匕、L3的斜率分别为K、&、K则（A 、B、K2V K〈KC 、 KvK〈KD 、11. （05 北京卷）“m=1” 是“直线（m+2）x+3myH=0与直线（nn- 2）x+（n+2）y—3=0 2相互垂直”的（）（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件12、与直线2x+3y-6=0关于点（1,-1）对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=013.若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则（ ）A. ab>0, bc>0B. ab>0, bc<0C. ab<0, bc>0D. ab<0, bc< 014. （2005 北京文）“m=1”2是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m—2）x+（m+2）y —3=0相互垂直”的 （）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件15.如果直线l经过两直线2x - 3 y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0 的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线l的距离是（）A. 2B. 12 C. 2 .216.原点关于x - 2 y + 1 = 0的对称点的坐标为()A.C.4 2- --5 54 25 5B.2 4-— —5 5D.-,--5 5二、填空题1 . 点P(1, 1)到直线X y 1 0的距离是2 .已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a) 三点共线，则a的值为(3 .经过两直线11x+3y—7=0和12x+y—19=0的交点，且与 A (3,B(—1, 6)等距离的直线的方程是。

4 .(全国I文16)若直线m被两平行线11 : x y 1 0与l2：x y 3的长为2 J2,则m的倾斜角可以是 ①15o②30°③45o④— 2),0所截得的线段60° ⑤ 75°其中正确答案的序号是 ，(写出所有正确答案的序号)三.解答题1 .已知两条直线11 :x 1 m y 2 m,l2：2mx 4y 16 . m为何值时，l1与I2：（1）相交（2）平行 （3）垂直2 .求经过直线I-2x 3y 5 0,12 ：3x 2y 3 0的交点且平行于直线2x y 3 0的直线方程.3 .求平行于直线x y 2 0,且与它的距离为2点的直线方程4 .已知直线11: mx + 8y + n = 0与l2： 2x + my - 1 = 0互相平行，求11, l2之间的距离为J5时的直线11的方程.5 .已知三角形ABC的顶点坐标为A (-1 , 5)、B (-2,-1)、C (4, 3), M是BC 边上的中点1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长(3)求AB边 的高所在直线方程6 .求与两坐标轴正向围成面积为 2平方单位的三角形，并且两截距之差为 3的 直线的方程一、选择题1 .设直线ax by c 0的倾斜角为 ，且sin cos 0,则a,b满足()A.ab1B.ab1C.ab0D.ab02.过点P( 1,3)且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为()A.2xy10B.2xy50C.x2y50D.x2y703 .已知过点A( 2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为()A. 0 B .8 C . 2 D . 104 .已知ab 0,bc 0,则直线ax by c通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限5 .直线x 1的倾斜角和斜率分别是（）A. 450,1B. 1350, 1C. 900 ,不存在D. 1800 ,不存在m满足6.若方程(2m2 m 3)x (m2 m)y 4m 1 0表示一条直线，则实数( )A. m 0B. m323C. m 1D. m 1, m — , m 02二、填空题1 .点P（1, 1）到直线x y 1 0的距离是.2 .已知直线l1：y 2x 3,若l2与1i关于y轴对称，则%的方程为 若l3与1i关于x轴对称，则l3的方程为;若 l 4 与 l1 关于 y x 对称，则 l 4 的方程为 ;3．若 原 点 在 直 线 l 上 的 射 影 为 （2, 1） ， 则 l 的 方 程 为4 .点P（x,y）在直线x y 4 0上，则x2 y2的最小值是5 .直线l过原点且平分YABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1,4）, D（5,0） ，则直线 l 的方程为 。

三、解答题1．已知直线Ax By C 0 ，（ 1 ）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（ 2 ）系数满足什么。