离散数学(二)群和子群.pdf

离散数学离散数学(( 二二)) 第五讲第五讲计算机学院计算机学院: : 焦晓鹏焦晓鹏群和子群群和子群群的定义群的定义1 11 1群的性质和结构群的性质和结构2 2主要内容主要内容: :群的性质和结构群的性质和结构重点重点: :群同态群同态难点难点: :重点和难点重点和难点: :子群及其判定定理子群及其判定定理3 3群同态群同态4 4一、半群、独异点和群一、半群、独异点和群群的定义：群的定义：设是代数,若*满足: (1) G 关于* 封闭；(2) G上运算*可结合；(3) G 关于*存在么元e；(4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1* a = a * a-1= e则称代数系统为群为半群为半群 为独异点为独异点为群为群(2) G上运算上运算*可结合：对所有的可结合：对所有的a,b,c∈∈G有，有，(a*b)*c=a*(b*c)一、半群、独异点和群一、半群、独异点和群对群 ，(1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群可交换群, 或称阿贝尔群阿贝尔群2) 若G是无限集，则称为无限群无限群(infinite group) 若 G是有限集，则称为有限群有限群(finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数群的阶数。

例1 (1) 是阿贝尔群，无限群(2) 代数是阿贝尔群, 这里x-1=k-x但代数不是群, 因为0元素没有逆元二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理1 是群, 则对于任何a、b∈G,(a) 存在唯一的元素x∈G, 使得a * x=bb) 存在唯一的元素y∈G, 使得y * a=b证明：证明：(a) 设么元e∈G,存在性存在性：取x= a-1* b,则a * x＝ a * (a-1* b)=(a * a-1) * b= e * b=b唯一性唯一性：存在x1,x2∈G, 使得a * x1=b，a * x2=b，那么x1=e * x1=(a-1* a) * x1= a-1* (a * x1) =a-1* (a * x2)= (a-1* a) * x2=e*x2=x2(b)同理可证方程解的唯一性定理方程解的唯一性定理二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理2 如果是一个群, 则对于任何a、b、c∈G,(a) a*b=a*c  b=cb) b*a=c*a  b=c证明：证明： 因为群的每一元素都有逆元, a-1* (a *b)=a-1* (a * c)注意到：左边= (a * a-1) * b =e * b=b右边=a-1* (a * c)=(a * a-1) * c=e * c=c本定理显然成立。

定理定理3 么元是群中唯一等幂元素证明证明：如果x是等幂元素, 则x*x=xx*x=x=x*e,由定理2消去律知x=e，所以么元是群中唯一等幂元素消去律消去律二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理4 设为群，那么当G ≠ {e}时, G无零元证明：证明：因当群的阶为1(即G = {e})时，它的唯一元素是视作幺元e设|G|>1 且群有零元那么群中任何元素x ∈G，都有 x ∗ θ = θ ∗x = θ ≠ e，所以，零元θ就不存在逆元，与是群的假设矛盾(具体:群中的每一个元素存在逆元)群中无零元群中无零元二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理5 群的运算表中的每一行或每一列都是G中所有元素的一个置换证明：证明：i)证明运算表的行证明运算表的行(或列或列)中无二相同的元素中无二相同的元素(反证法反证法)如果对应于元素a1∈G的那一行中有两个元素相同,即 a1i=a1j, 由于a1i = a1* aia1j= a1* aj但根据定理2有ai= aj,事实上而ai≠ aj ,矛盾ii) 证证G中每一元素都在运算表的每一行中每一元素都在运算表的每一行(每一列每一列)中一定出现中一定出现。

考察对应于a的行,假设任意b∈Ｇ,必存在x∈Ｇ,使得a * x=b,因此b必出现在对应于a的行可见: 运算表中每一行都是G中所有元素的一个置换, 并且每一行都是不同的置换二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理6 如果是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a * b)-1= b-1* a-1证明：证明：由于(a * b) * (a * b)-1= (a * b)-1* (a * b) = e和(a * b) * (b-1* a-1) = a * (b * b-1) * a-1= a * a-1= e同理可得(b-1* a-1) *(a * b) = e即(a * b) * (b-1* a-1) = (b-1* a-1) *(a * b) = e而逆元是唯一的, 所以(a * b)-1=b-1* a-11 11 21 111 21...)...(−−− −−−∗∗∗∗=∗∗∗aaaaaaannn推论：推论：二、群的性质与结构二、群的性质与结构由定理定理4可得出以下结论：一阶群仅有一个，二阶群仅有一个, 三阶群仅一个, 五阶群仅有一个，四阶群仅有两个，六阶群仅有两个eee*e a e ae a a e*e a beabe a ba b eb e a二、群的性质与结构二、群的性质与结构四阶群仅有两个：*e a b ceabce a b ca b c eb c e ac e a b*e a b ceabce a b ca e c bb c e ac b a e二、群的性质与结构二、群的性质与结构五阶群仅有一个 ：*e a b c deabcde a b c da b c d eb c d e ac d e a bd e a b c二、群的性质与结构二、群的性质与结构六阶群有两个 ：二、群的性质与结构二、群的性质与结构为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群的任意元素a的幂。

如果n∈N, 则nnnnaaaaaea)(110−−+=∗==由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中结合律成立, 不难证明以下指数定律成立: mkkmkmkmaaaaa==∗+)(二、群的性质与结构二、群的性质与结构群元素阶的定义：群元素阶的定义：设是一个群, 且a∈G, 如果存在正整数n使an=e, 则称元素的阶是有限的, 使an=e成立的最小的正整数n称为元素元素a的阶的阶(元素a的周期)a的阶=min{n|n∈I ⋀an=e }如果不存在这样的正整数n, 则称元素a具有无限阶无限阶例如：例如：(1) 群的么元e的阶是12) 三阶群仅一个: a1=aa2=b a3= a1 ∗a2=a ∗ b=ea6= (a3)2= (e)2=ea9 =e*e a beaBe a ba b eb e a二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理7 如果群的元素a具有一个有限阶n, 则ak=e当且仅当k是n的倍数证明：证明：充分性：设k、m、n是整数如果k=mn, 则ak= amn= (an)m=em= e必要性：假定ak=e, 且k=mn+t, 0≤t＜n, 于是at= ak-mn= ak* a-mn= e *(an)-m= e *e-m=e由定义可知, n是使an=e的最小正整数, 而0≤t＜n,所以t=0, 得k=mn。

证毕二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理8 群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶定理定理9 群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶在有限群中, 每一个元素具有一有限阶, 且阶数至多是|G|证明证明：设a是中任一元素在序列a, a2, a3, …, a|G|+1中至少有两元素是相等的,不妨设ar= as, 这里1≤s＜r≤|G|+1因为e= a0= ar-r= ar* a-r= ar* a-s= ar-s所以, a的阶数至多是r-s≤|G|三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理子群的定义：子群的定义：设是一个群, S是G的非空子集, 并满足以下条件:(1) 对任意a、b∈S有a * b∈S ;(2) 对任意a∈S有a-1∈S;(3) e∈S, e是的么元, 则称是的子群子群一定是群，如子群一定是群，如是是的子群定理定理10 设是个群, S⊆G, 如果(1)若a、b∈S, 则a * b∈S； (2)若a∈S, 则a-1∈S那么是的子群证明证明：对任意元素a∈S, 由(2)得a-1∈S, 再由(1)得a * a-1=e∈S所以, 是的子群三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理11 设是一个有限群, 如果对任意元素a、b∈S,有a * b∈ S, 那么是的子群。

证明证明：设a是S的任一元素, 则a∈G, 根据定理9, a具有阶数r,由于S 对运算*的封闭性, 所以a, a2, …, ar全在S中, 特别的， ar-1= ar* a-1= e * a-1= a-1 也在S中, 这就证明了若a∈S, 则a-1∈S根据定理10, 得出 是的子群定理定理12 设是一个群, S是G的非空子集, 如果对于S中的任意元素a,b有a* b-1∈S,则是的子群证明证明： (1)因为S非空，所以存在a∈S,有a* a-1= e ∈S;(2)对任意a ∈S,因为e ∈S，所以a-1 = e* a-1∈S;(3)对任意a,b ∈S,因为b-1∈S,所以a * b =a* (b-1)-1 ∈S四、群同态四、群同态群同态的定义群同态的定义设和是两个群, 映射h: G→H称为从到的、群同态, 如果对任意a、b∈G,有h(a * b) = h(a) ⊙ h(b)和代数系统同态的定义6.3-2比较, 可以看出群同态的定义中省去了两条:h(eG) = eH,和h(a-1) =[h(a)]-1这里eG和eH分别是和的么元我们证明由于群的结构, 条件(1)已蕴含了条件(2)和(3),省去是合理的。

1) h(eG) = h(eG* eG) = h(eG)⊙⊙h(eG)，可见h(eG)是中等幂元素, 但 群中只有么元是等幂的, 所以h(eG) = eH (2) h(a)⊙⊙h(a-1) = h(a*a-1)=h(eG)=eH, h(a-1)⊙⊙h(a)=h(a-1*a)=h(eG)=eH 所以, h(a-1) =[h(a)]-1四、群同态四、群同态定理定理13 设h是从群到群的一个群同态映射，则 在h下的同态象是的子群证明证明：(1) 证明运算⊙在h(G)上是封闭的任取x,y∈h(G),必存在a,b∈G,使得h(a)=x, h(b)=y,则有x⊙y=h(a)⊙h(b)=h(a*b)=h(c)∈h(G)和a*b=c∈G，(用到h是从群到的一个同态)所以⊙在h(G)上是封闭的2) 证明的么元eH∈h(G)eH=h(eG)∈h(G) (因eG是么元)(3) 证明h(G)每个元素h(a)都有逆元任取x∈h(G),必存在a∈G,使得h(a)=x则x-1= [h(a)]-1= h(a-1)∈h(G) (因为G是群，故a-1∈G)(4) 证明H 的子集h(G)≠Ø，h(G)⊆G, eH= h(eG)∈h(G)≠Ø。

综上所述，可知综上所述，可知是是的子群四、群同态四、群同态设h是从群到代数系统的一个同态映射，则 在h下的同态象是群, 但是可不一定是群。