小学奥数题库《计算》公式类山顶数公式-4星题（含详解）全国通用版.docx

计算-公式类计算-山顶数公式-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率山顶数公式A1.熟悉山顶数公式2.能够将一些式子变形后再利用山顶数公式进行计算少考知识提要山顶数公式· 公式 1+2+3+⋯+(n−1)+n+(n−1)+⋯+3+2+1=n2 精选例题山顶数公式 1. 1+2+⋯⋯+8+9+10+9+8+⋯⋯+2+1=  ．【答案】    100【分析】    1+2+3+⋯+n+⋯+3+2+1=n×n，所以原式 =10×10=100 2. 计算：（1）111111×111111;（2）11111111×11111111;（3）1+2+3+⋯+8+9+10+9+8+⋯+3+2+1;（4）1+2+3+⋯+28+29+30+29+28+⋯+3+2+1;（5）111111×999999;（6）11111111×99999999.【答案】    （1）12345654321；（2）123456787654321；（3）100；（4）900；（5）111110888889；（6）1111111088888889；【分析】    （1）12345654321;（2）123456787654321;（3）10×10=100;（4）30×30=900;（5）111111×999999=111110888889;（6）11111111×99999999=1111111088888889. 3. 计算：（1）111111111×111111111；（2）1+2+3+⋯+98+99+100+99+98+⋯+3+2+1．【答案】    （1）12345678987654321；（2）10000【分析】    （1）观察算式发现是连续的 9 个 1 相乘，观察下面算式的特点，然后再归纳，这样计算比较简便．1×1=1,11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321,11111×11111=123454321,⋯111111111×111111111=12345678987654321.（2）观察算式发现左边是自然数等差数列右边是自然数等差数，我们可以把这样的数列起名为金字塔数列．可以用等差数列公式，但是我们可以从简单入手再来观察该题．这样计算比较简便．1+2+1=2×2=4,1+2+3+2+1=3×3=9,1+2+3+4+3+2+1=4×4=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25,⋯1+2+3+⋯+98+99+100+99+98+⋯+3+2+1=100×100=10000. 4. 计算：（1）1+3+5+7+9+⋯+41；（2）1+2+⋯+28+29+30+29+28+⋯+2+1．【答案】    （1）441；（2）900【分析】    （1）从 1 开始的连续奇数相加，“天下无双，项数平方”，所以先求出项数， 项数：(41−1)÷2+1=21, 1+3+5+7+9+⋯+41=21×21=441;（2）金字塔数列 ,和=中间数×中间数， 1+2+⋯+28+29+30+29+28+⋯+2+1=30×30=900. 5. 计算：（1）1+2+3+4+5+⋯+20+⋯+5+4+3+2+1；（2）1+2+3+⋯+44+45+44+⋯+3+2+1；（3）2+4+6+⋯+18+⋯+6+4+2；（4）2+4+6+⋯+22+⋯+6+4+2；（5）21+22+23+⋯+50+⋯+23+22+21．【答案】    （1）400；（2）2025；（3）162；（4）242；（5）2080【分析】    （1）1+2+3+4+5+⋯+20+⋯+5+4+3+2+1=20×20=400;（2）1+2+3+⋯+45+⋯+3+2+1=45×45=2025;（3）2+4+6+⋯+18+⋯+6+4+2=2×(1+2+3+⋯+9+⋯+3+2+1)=2×9×9=162;（4）2+4+6+⋯+22+⋯+6+4+2=2×(1+2+3+⋯+11+⋯+3+2+1)=2×11×11=242;（5）21+22+23+⋯+50+⋯+23+22+21=(1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1)−(1+2+3⋯+20+⋯+3+2+1)−20=502−202−20=2500−400−20=2080. 6. 计算：11+12+22+12+13+23+33+23+13+⋯+11995+21995+⋯+19951995+⋯+11995.【答案】    1991010【分析】    原式=1+222+323+⋯+199521995=1+2+3+4+⋯+1995=1991010. 7. 计算：（1）1+2+3+4+⋯49+50+49+48+⋯+6+5；（2）1+3+5+7+9+⋯+999．【答案】    （1）2490；（2）250000【分析】    （1）1 连续上升到 50 再连续下降到 1，为金字塔数列，和=中间数×中间数，此题少 (4+3+2+1)，可以先补后减， 1+2+3+4+⋯49+50+49+48+⋯+6+5=50×50−(4+3+2+1)=2500−10=2490;（2）从 1 开始的连续奇数，和=项数×项数，所以先求项数，再求和， 项数：(999−1)÷2+1=998÷2+1=500, 1+3+5+7+9+⋯+999=500×500=250000. 8. (1+2+3+…+2007+2008+2007+…+3+2+1)÷2008=【答案】    2008【分析】    观察原式可知，1、2、3⋯2007 分别可与 2007、2006、2005⋯1 组成 2008，于是括号中有 2008 个 2008，故原式结果为 2008． 9. 计算：（1）1+3+5+7+9+11+13+15；（2）39+34+31+⋯+3+1；（3）1+2+3+4+5+⋯+100+99+98+⋯+3+2+1；（4）1+2+3+4+5+⋯+50+49+48+⋯+6+5．【答案】    （1）64；（2）400；（3）10000；（4）2490【分析】    （1）方法一、利用高斯求和，可得(1+15)×8÷2=16×8÷2=64方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即8×8=64.（2）想要求和，需要知道项数，项数：(39−1)÷2+1=38÷2+1=20(项).方法一、利用高斯求和，可得(39+1)×20÷2=40×20÷2=40×10=400.方法二、从 1 开始的连续奇数，和为项数的平方，即20×20=400.（3）方法一、利用高斯求和1+2+3+4+5+⋯+100=5050,99+98+⋯+3+2+1=5050−100=4950,5050+4950=10000.方法二、此数列从 1 连续上升，再连续下降到 1，为金字塔数列，金字塔数列和为 中间项×中间项，即100×100=10000.（4）先补成金字塔数列，再减去补的数，即50×50−(4+3+2+1)=2490.。