高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理高中教育.docx

析：对欲证的式了转化为弦来分析：再展开得：sin()cos2sincos(证明：sin()cos()tantantan(tan))变形为：)(1tantan)代入原式tan()(tan)(1tanta1mcos1m1m化简1sincossin21sincos分析：巧妙利用常数“1”及倍角公式凑成完全弦推导正切sin()cos()由两角和推导二倍角方法：把换成代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函12 ( )1 [C C2 ( ) (1 [S S实用标准文案《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、 基本公式1、必须掌握的基本公式（ 1） 两角和与差的三角函数文档C( )S( )T( )C C S SS C C ST T1 T T同名乘积的和与差异名乘积的和与差（2） 二倍角的三角函数S 2S C2CT22C2 S2 2C2 1 1 2 S2 差点等于 12T1 T2（3） 半角的三角函数S2C 2T21 C 21 C 21 C1 CT sin 2 cos1 cos sin2、理解记忆的其他公式（ 1） 积化和差C C S S S CC S1 [C C2 ( - ) (1 [S S2 ( ) (( )]])])]同名相乘用余弦； 异名相乘用正弦。

留首项，用加法； 剩尾项，用减法)求函数ysin3xcos3x的值域12∵sin6x的值域为[1,1]∴函数ysin3xcos3x的值B=sinAsinB即：tanAtanBtanC∴tanAtanBtanCtanAtanBtanC实析：实质就是求证：tan(C)1D证明：观图可得：tantan∴tan()1113211325 65变过程中的转化思想：分子、cos2分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简实用标准文 2a2 b2 sin(x) 其中： tan41 T221 T221 T22实用标准文案（2） 和差化积S S CCS 2[S C ]2 2S 2[S C ]2 2C 2[C C ]2 2C 2[S S ]2正弦加减得异名；余弦加减得同名加法得 2 倍首项；减法得 2 倍尾项3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）2TS 21 T2C22TT2（4） 辅助角公式a sin x bcos x常见的几种特殊辅助角公式：ba① sinx cos x 2 sin( x )② sinx 3 cos x 2sin( x③ 3sinx cos x 2sin( x④ sinx cos x 2 sin( x⑤ sinx 3 cos x 2sin( x⑥ 3sinx cos x 2sin( x 3) 6))4)3)60)sin45cos30cos45sin30同理可得：cos1562624cos(4530)cos4求函数ysin3xcos3x的值域12∵sin6x的值域为[1,1]∴函数ysin3xcos3x的值用标准文案2sin50(cos60cos10sin60sin10)cos102sin50cos50c成，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。

然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式另外：关22方法： 利用： tan( ) 可以推导出正切的两角和与差有的公式2实用标准文案二、 理解证明1、两个基本公式的证明① C C C S S 的证明方法： ( )在单位圆内利用两点间的距离公式证明计算繁杂在化简中注意使用“ sin2 cos2 1 ”② C C C S S 的证明方法：( )在单位圆内利用向量的数量积证明计算简便运用向量数量积与两向量的 夹角关系来证明或者： 在单位圆内利用三角函数线证明 构图较难 利用三角函数线的加减、 平移来代换2、由两角和向差的演变方法：用 代替 ，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式3、由余弦向正弦的演变方法： 用诱导公式把余弦转化为正弦： cos[( ) )] sin( ) ，展开即可推导出正弦的两角的和公式4、由正弦和余弦推导正切sin( )cos( )5、由两角和推导二倍角方法：把 换成 代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式文档6、由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式： C2C2 S2 2C2 1 1 2 S2 ，把 2 换成 ，即 换成 ，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。

然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式另外：关于正切的另一个半角公式： T sin1cos1 cos sin可以通过： tan 2sin2来理解特别体会其演变过程中的转化思想： 分子、cos 2分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！ 然后再利用二倍角化简5cos30sin45sin3062624方法3：用60°与45°的差角求得sin15sin(604s2分析：方法1：把常数换为特殊的三角函数，则原式1591741342来分析实用标准文案分析：在三2的最大值为1，当4时，矩形面积最大，最大值为R22）如图，一个圆心为的扇形的半径为3，在此扇形用标准文案tan(QADPAB)=xyxy1xy1(1xy)xy1又∵QADPAB(0,)，∴QAD22 22 2得高度关注sin2sin cos 2 21cos2 即得cossin2 2 2sin2 = 2 2 2 1再巧妙利用“1”的转化： 2 2 上下同时除以cos2 即得 sin2 cos2 ， 2实用标准文案7、由两角的和与差推导积化和差方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。

相加会抵 消尾项，相减会抵消首项这与完全平方的和与差的加减类似 (a b)2 (a b)2 会抵消中间项，剩 下首尾项的 2 倍；而(a b)2 (a b)2 会抵消首尾项，剩下中间项的2 倍8、由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难利用展开相抵原则即可 得到关键是角度的转换问题只有一个角无法展开因此引入了一个合新文档的角度变换方法： 把单角： 和 转换成两角的和与差：22 ，29、万能公式的理解于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的方法：利用二倍角公式转换： sin 2sin cos ，然后把分母“ 1”巧妙利用 sin 2sin cos221，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛 值2sin cos 2 2sin2 cos2 ，然后上下再同时除以2cos2 sin2同样利用二倍角公式转化余弦： coscos2 2 2对于正切的万能公式， 直接利用二倍角公式即得10、 辅助角公式的理解方法： 辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算只是通过一些转换化成：sin cos cos sin 的形式而已。

对于a sin x bcos x 来说： 要通过换元法来转换， 这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）三角换元 法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来， 从而得到简化式子的作用分析思考过程如下： 若直接换元： 令 cos a ，则怎样用三角函数式表示bn()2tan（8）已知sinmsin(2)，且m1，1m1m证明：由sinmsin(2)得：，k(杂！125 656 4C作CE⊥AB，利用相似列出比例来解答计（3）如图正方形的边长为1，点P、Q0)=sin50(1tan60tan10)sin50= tan60tan10sin50tan(601os2）coscos2cos2cos23cos与方程的综合（1）设tan和tan是方程x2①求tan1b函数表示出 ，因而化不成： sin1 ，也无法用三角b此时： tan （对边：邻边）a2 b2 a2 b2sin x sin cos x)sin x sin cos x) = a2 b2sin(x)在直角三角形中： tan（对边：邻边）aa2 b2，则bcos a2 b2实用标准文案呢？无法完成换元过程，因此： a sin x bcos x 化不成sin cos cos sin的形式。

若提公因式呢！假如公因式为 ab ，文档则得： a sin x bcos x ab( sin x1a1acos x) ，此时令 coscos cos sin 的形式所以公因式必然与 a 、b 同时有联系考虑到三角函数的产生环境，我们不 妨将常数a 、b 放到直角三角形中来思考：若a 、b 分别是直角三角形的两直角边，得斜边为： a2 b2 这个常数 a2 b2 显然与a 、b 都有关系假 如公因式是 a2 b2 ，则 a sin x bcos x 化为：a sin x bcosx a2 b2 ( a sin x b cosx)此时令所以：aa2 b2ba2 b2cos （此时在直角三角形中，a 为邻边， a2 b2 为斜边）sin （此时在直角三角形中， b 为对边， a2 b2 为斜边）于是a si。