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第九章振动学基础9. 1简谐振动一、简谐振动的动力学描述1、 谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相 反的冋复力作用下的运动称为简谐振动f = ~kx式中，k为比例系数2、 简谐振动的微分方程设振动物体的质量为m,根据牛顿笫二定律有：, d2x-kx = m 一-dt1 m令：V m 则：⑺+兄=0dt2二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程根据微分方程理论2= 0 的解为：dtx = A cos伽 + 0)谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐 振动v = + 0)a = -Ao)^ cos伽 + 0)a、e为积分常数例】：若 t=0 时,x = x0,v = v0 j 求 A、4> ox0 = ACOS0 v0 =_4处祜0vo2、简谐振动的三个特征量（1）振幅——由振动系统的能量决定 表示振动物体离开平衡位置的最大距离A2#（扣+如论詁（2）角频率、频率、周期 由振动系统的性质决定角频率：3（3）初相——由起始吋刻的选取决定 如在位移正最大值时开始计时，4）=0 在平衡位置处开始计吋4）二兀/2例1、证明单摆的振动为谐振动，并求其振动周期。

证明：fn - T -mgcosO - 0fT =_〃gsin&当作微振动吋8很小fr = 一故单摆的振动为谐振动，其振动微分方程为:-mg 0 = ma t =>dt2d20~dF+辎=0角频率：（Df = -pgV = -7rR2x(\ -=0g』3gl2R,T = 2%周期：a)= — = 2/r J—q Ng【例2】、半径为R的木球静止浮于小面上吋，其体积的一半浸 于水中，求(1)木球振动的微分方程，(2)木球在什么条件下作简 谐振动，振动周期为多少？【解】：以平衡位置为坐标原点，当木球从平衡下移位移x时， 浸入水中的体积增加：V = ^7r(R2-x2>)dx = ttR2x(\ - 木球所受的合力：由牛顿第二定律：-恥Q-宙pgw乔平衡位置时:m = ---7rR3p,故2 3d2x ~dt^些即木球的运动微分方程7当YR时，話T0木球作简谐振动三、简谐振动的旋转矢量表示1、 旋转矢量作匀速率圆周运动的物体在圆周的任一直经上的投影点的运动， 就是一简谐振动绕固定点0以一定角速度3逆时针旋转的矢量称为旋转矢量2、 旋转矢量与谐振动的关系旋转矢量入的端点在圆周的直经——x轴上的投影点的的运动为 谐振动。

振幅A——刁的模角频率3 刁的角速度位相st+e—2与x轴的夹角X = A COS（0/ + 0）3、谐振动的位相3t+e（1） 位相当A和3 —定吋，简谐振动的运动状态（位移、速度、加速度） 完全由3t+e确定，称3t+e为简谐振动的位相而t二o吋的相位e称为简谐振动的初相如，若弹簧振子的位相为兀/2,则振动物体的运动情况是物体 通过平衡位置且沿负方向运动（2） 位相差设有两个谐振动兀］=A} cos伽 + 0Jx2 = A2 cos伽 + 0）位相公：A0 =（曲+ 2）— （曲+ 01）= 02 — 01）运动画出代表该谐振动的旋转矢量图例】：作谐振动的物体，其振幅为A,在起 始吋刻质点的位移为（1/2） A,且沿x轴正方向作简谐振动的弹簧振子，其运动方程为:简谐振动的能量X = A COS(曲+ 0)动速度为：动能和势能分别为:v = -Acosim(cot + 0)Ek = —mv1 =丄 6y2A2sin2(69f+ ^) 人2 2En = —kx1 = — kA2 cos2(a)t + df)p 2 2机械能为:可见，弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随吋间作周期 性变化，当动能最大时，势能最小；当动能最小吋，势能最大；但 机械能保持恒定不变。

例】：如图,Z = 1.5mo求单摆左右两方振幅之比【解】：单摆的能量E = -KA2=-mA\o22 2A] _ s枳所以诩厶= 2 = 1.5 厶=/一0.45 = 1.()5 加AA守恒，故rfn: co =0. 45』【例】：在弹簧卜挂加o = lOOg的法码时，弹簧伸长8c加现在弹簧下挂加= 250g的物体构成弹簧振子把物体从平衡位置向下拉动4cm ,并给以向上21c加/$的初速度(此时开始计时)，选X轴的止方 向向下，求谐振子的运动方程解】：以平衡位置为坐标原点，设运动方程为：X = Acos(m + 0)(1)求角频率3由胡克定律： m^g = kx k = /x - 12.25(N/co = 4klm = l(rad / s)(2)由初始条件求A、(1)A = Jx^ +—= V0.042 +0.22 /7 = 0.05(/72)v cotg(/)= =—匕」一=0.75 二＞ 0 = 0.2兀,71 + 0.2兀x(}a) 7 x 0.04因物体沿x轴负方向运动，由旋转矢量图，取:0 = 0.2兀(3)求运动方程x = 0.05cos(7r + 0.2^),(57)=0.05 cos(2.25r +0.2^-), (S7)9. 2简谐振动的合成一、同振动方向、同频率的简谐振动的合成 设在x方向有两个同频率的简谐振动：xx = Ax COS（曲 + 0［）x2 = A2 cos（曲 + 0）1、解析法根据运动迭加原理：X = %! + x2 = A COS（曲 + 0）式中:A =』A|~ + A-7 + 2A] cos(0-> — )z A. sin0 + A7 sin0——-——=———4 COS0I + A2 COS 022、旋转矢量法A]: X] = A} cos伽 + 必)A2: x2 = A2 cos(曲 + 02)A = A} + A：:x = x}+ x2 = Acos(cot + 0)由图知:A = JA|~ + A； + 2Aj cos(0 — )A〕sin 必 + A2 sin 必A| COS 0| + A2 COS 023、 结论两个同方向同频率的简谐振动的合振动仍然是简谐振动，其振幅 和初相由分振动的振幅及初相决定。

4、 讨论“ j 40 = 0一 0| = 2k7T\ 时,振动加强A二I A1+A2 I O当 A0 = 02 _ 0] = (2k + 1)兀,时, 振动减弱 A= | A|-A2 I ok = 0,l,2,3,...二、同振动方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象设在X方向有两个不同频率的简谐振动，其振动频率分别为：3 I和32,振幅均为A,初相均为0,振动表达式分别为：%! = Acos(0j)x2 = Acos(/)其合振动为：r 4 - CO. + 、x = x} + x2 = 2Acos(—f)cos(―—~~ r)2 21、 结论两个同方向不同频率的简谐振动的合振动不是简谐振动2、 讨论如果两个分振动的频率3 ]和3 2很大，且相近时：3 ]壬3 2则:](匕 +v2)^(v1 -v2)此吋，合振动的位移随吋间的变化主要由COS [2 n ( v2+ V J /2]决定，但振幅2A COS [2n ( v2-V1) /2]随时间作绶慢的周 期性变化，出现振动忽强忽弱和情况拍现象：频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生 的合振动忽强忽弱的现象拍频：单位吋间内出现最大振幅的次数叫拍频，一 2><丄(叱乞)=色_乞二山_如17T 2 2兀 M \ 〜三、互相垂直的简谐振动的合成 李萨茹图形当质点同时参与两个互相垂直的振动吋，合振动质点的轨迹可能 有各种形式，轨迹的形状是由两个分振动的周期、振幅和位相差决 定的。

设在x方向和y方向有两个同频率的简谐振动：xx = A} COS(曲 + 0[) y2 = A2 cos(曲 + 0) 消去上述方程中的时间参数t可得合振动物体的轨迹方程：2 2 〒 + 〒_2cos(02 = sin，(02 +0)A~ A~ A}A2-般而言，上述方程是一椭圆方程，椭圆的形状大小和长短轴由 两个分振动的振幅Al、A2和位相差（＜1）2-巾1）决定如果两个互相垂玄的简谐振动的频率不相同，它们的合振动的运 动情况比较复杂如两个分振动的位相差很大，但有简单的整数比 吋，则合振动具有稳定的封闭的运动轨迹，这种图形称为李萨如图例题】已知两谐振动的运动方程：兀| = 5 x 10 ~2 cos（ 10 f + 3龙 / 4） , x2 = 6 x 10 ~2 cos（ 10 f + 兀 / 4）式中各物理量都用SI制求：（1）合成振动的振幅和初位相；（2） 如另有第三个谐振动兀3 = 7xl0-2 cos（ 10/ + Q）则口应为何值，才能使X, +心的合振动振幅最大?乂 口应为何值，才能使兀2 +兀3的合振动振幅最小？【解】（1）合振动的振幅A =+ A； + 2A] A? cos（0 - 必） 7.81 x 10~2 （加）代入有关数据计算得：4 a 7.81x10—2 伽） 合振动的初位相e满足tg ==11A} sin 0] + A2 sin（/）2cos 0| + A2 cos 0代入有关数据计算得：$0 = 11因为 兀14＜（1）＜3兀14所以4＞=84・8 （2）要使小+兀3的合振动振幅最大，两分振动小，兀3必须同位相, 即a - 3兀 I 4 二 兀 n = 0, 1,2, ••-所以 a = 2n7i + 3^/4要使兀2 +兀3的合振动幅最小，两分振动兀2,心必须反位相，即a— 龙/ 4 = （2〃 + 1）龙 n - 0, 1,2,••-所以 （7 = （2〃 + 1）龙 + 1龙/49. 3阻尼振动、受迫振动、共振—、阻尼振动实验指出，当振动物体的运动速度不太大吋，振动物体所受到的 阻力与速度成正比，阻力的方向与速度方向相反：r dxJ =-/ ——dt式中Y是比列系数，它由振动物体的形状、大小、表面状况和周围 介质的性质决定。

阻尼振动的微分方程：d^x 小八d天 9 门 — 20 F X = 0dr dt 0式中3是振动系统的固有频率，B是表征系统阻尼大小的常量当阻尼较小吋，上述微分方程的解为：x(r) = AQe~^ cos(曲 + 0)振动的振幅随吋间按指数规律衰减，阻尼作用越大，振幅衰减得 越快，称为欠阻尼振动当阻较大吋，上述微分方程的解为：x（z） = cxe-（"-J""：）/这种运动方式没有周期性的振动，经过相当长的时间物体才能达 到平衡位置，称为过阻尼运动如果阻尼的作用刚刚能使物体作非周期性运动，最后也能回到平衡位置，这种情况称为临界阻尼运动上述微分方程的解为：□) = (5 +c2)e~^二、受迫振动共振如果策动力是随时间按余弦规律变化的简谐力hcosot,则在同 吋受到弹性力、阻力和策动力作用下的振动物体，其位移随吋间的 变。