简化解析汇报几何运算技巧专题.doc

专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代 数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题 的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步.特别是高考过程中，在规定的 时间内，保质保呈完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面.为此，从以下几个方面探 索减轻运算呈的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程.技法一巧用定义，揭示本质定义是导岀其性质的"发源地X解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思 想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算呈大为简化，使解题构筑在较高的 水平上.£［典例］如图，斤是椭圆G： - + y=1与双曲线Q的公共焦点，A. 8分别是久G在第二、四象限的公共点.若四边形S斤殆为矩形，则Q的离心率是（）［解析］由已知，得斤（一{5, 0）,月（羽，0）,设双曲线Q的实半轴长为a,由椭圆及双曲线的定义和已知,解得/=2,•|朋| + | 朋 |=4, 可得｛阴一 I朋|=2日,J /^|2+H6|2=12,故a=©所以双曲线Q的离心率e=［答案］D［方法点拨］本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立\AF.\. \af2\的等量关系，从而快速求出双曲 线实半轴长。

的值，进而求岀双曲线的离心率，大大降低了运算呈.［对点演练］抛物线＜=4宓（方＞0）的焦点为F,点P为该抛物线上的动点，若点A{-m. 0）,则槪的最小值为 解析：设点P的坐标为3,心 由抛物线的定义，知|明=应+风 又|创2=(〃+掰+必=(*+初+4叱,则(陽卜 加佇帚4跆=一 '畑 M 爲 = “+ m 2 2yj xp • m 2抽且仅当xp=m时取等号)，所以愣卜芈，所以協■的最小值为李处案.亚口木・ 2技法二设而不求.整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的 中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解.2 2［典例］已知椭圆£：牛+召=1 (a>b>0)的右焦点为F(3, 0),过点F的直线交F于儿a dB两点.若力0的中点坐标为(1, -1),则F的标准方程为()［解析］设 Me yi), Bg yD ,则 xi + x2=2, p + w=—2,①一②得山+ ”2X\—X1所以耘y F “+沟8x\ — xi a yi+y? a又心=尹=扌,所以纟冷又 9 = c=a-/>\解得 F=9, 5=18,2 2所以椭圆F的方程为令+彳=1・［答案］D［方法点拨］本题设岀儿3两点的坐标，却不需求岀儿8两点的坐标，巧妙地表达出直线MB的斜 率，通过将直线SB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题.［对点演练］过点4/(1. 1)作斜率为一》的直线与椭圆C：手+务=06>0)相交于儿0两点，若"是线段S3的中点，则椭圆C的离心率等于 解析：设力(M, X), Bg必)，y\—y2 yi+/2=0,X\_X2yi+/2-• •必一乃X\_X2k + “2=2, yi + y?=2,X、— X2£ .廿=2/又•••—，.廿=2&_<), .•./=2& .•.£=¥.a l即椭圆G的离心率e=*. 牧案.亚口 • 2技法三巧用“根与系数的关系”.化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求岀两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算呈小，解题过程简捷.［典例］(2016 •全国甲卷)已知椭圆=1的焦点在"轴上，力是F的左顶点,斜率为A(A>0)的直线交F于儿〃两点，点N在F上，必丄必⑴当t=4, \AM\ = \AM时，求AS剜的面积；(2)当2\A/A = \AM时，求斤的取值范围.［解］设"(e yi),则由题意知“>0・X v⑴当十=4时，F的方程为-+y=1, >1(-2. 0). 由已知及椭圆的对称性知，直线力〃的倾斜角为 因此直线/I"的方程为y=x+2.将*=#_2代入扌+彳=1,得”一 12^=0.12 I?解得y=0或y=y,所以yi=y・1 12 12 144因此例的面积 S^ahn— 2 X ~ X — X—=-^-. ⑵由题意知十>3, ,力(一心，0).2 2将直线初的方程y=k(x+Jt)代入半+彳=1,得(3+ M2) x+2y［t • t/r2%4- t2A2 —3t=0.故 | AM\ = | Xi +A2= .由题设，直线M的方程为尸一扣+心), 故同理可得I AN\ •.即(#一2) t=3A(2A-1)・3l 3k 2k—\当k=&时上式不成立，因此十=一歹二即寻0.«—2<0, 护一 2>0,Q故斤的取值范围是(羽，2).［方法点拨］、斤 3—1!<本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求岀山= 一,这体现了整体思路•这 是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量.［对点演练］(2016 •兰州实战考试)已知椭圆巧+务=1 3>b>0)的离心率为扌，且经过点彳1,却, 左' 右焦点分别为4.(1) 求椭圆C的方程；⑵过E的直线/与椭圆c相交于力，b两点，若△鹏8的内切圆半径为孳，求以尺 为圆心且与直线/相切的圆的方程.r 1解:(1)由一=刁 得a=2c、所以a2=4c2, 6=3乱a L将点彳1, 訥坐标代入椭圆方程得c2=1,故所求椭圆方程为彳+£=1・4 3(2) 由(1)可知^(-1.0)，设直线/的方程为x=ty-1,代入椭圆方程，整理得(4+3#)/—64—9=0,显然判别式大于0恒成立，设力3, M), Bg /2), \AF1B的内切圆半径为厂0,E,+ , 6t —9 3*\/2则有必+#2=4+3孑,"#2=4+3孑,心=亏一，所以S、AFiB= S\AF、FAS、旺氏占只臥• |/一必|=》|斤刃肿+必？一4»刃= 12心+14+3/ •而 S△朋8= j|朋| ro+*|BFi| ro+扌\AF2\r.=,(|個 + |励| + |鹏|)=\(| 朋 | + | 亦 | + | 昭 | + | 鹏 |)=po ・ 4a1 3J2= -X8X-^-12^/27所以号蚩尹=呼，解得"=1,2因为所求圆与直线/相切，所以半径r=-===J2,心+1所以所求圆的方程为（x-1）2+y2=2.技法四借“曲线系S理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解 题方法和技巧之一.［典例］已知双曲线p-p=1（a>0, 6>0）的一条渐近线方程是y=®,它的一个焦 点在抛物线?=24x的准线上，则双曲线的方程为（）2 2 2 2A・ 36 108_1 B・ 9 27_12 2 2 2c z__r=1 d —1C- 108 36 1 D・ 27 9 12 2［解析］由双曲畴一纟=1@>0, 6>0）的一条渐近线方程是y=W，可设双曲线的2方程为 x-y=a（4>0）.因为双曲线£一£=1 （日>0, b>Q）的一个焦点在抛物线/ = 24”的准线上， a b所以F（—6.0）是双曲线的左焦点，即人+3/1 =36, 4=9,所以双曲线的方程为=1.［答案］B［方法点拨］本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决.避免了复杂的判断、可能的 分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍.［对点演练］圆心在直线%—y—4=0上,且经过两圆x + y+6x—4=0和x + y +6y—28 = 0的交点 的圆的方程为（）A. x+y-x+7y-32 = 0 B・ ^2+y-x+7y-16=0C・ x2+y-4x+4y+9 = 0 D・ x+y-4x+4y-8 = 0解析：选A设经过两圆的交点的圆的方程为x+ y+6x-4+ A (/ + y2 + 6y-28) =0,on 21 21 6 . 6/1 4+28 4即 x +/ +—x+7TTy~"7T7~-°*其圆心坐标为(-島，-詡，Q O 2又圆心在直线x-y-4=0±,所以一存丁+r■—4=0,解得久=一7,故所求圆的方程为x+y-x+7y-32=0.技法五巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用 换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功 倍.常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等.在换元过程中，还要注 意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件.［典例］设椭圆-+^=1 (a>^>0)的左、右顶点分别为儿E点P在椭圆上且异于儿 a b8两点，。

为坐标原点.若\AP\ = \OA\,证明直线"的斜率斤满足胡>芒.［解］法一：依题意，直线〃的方程为卩=心，设点P的坐标为(心M)・由条件，得y°=kxg扌&消去并并整理，得入=・①由|胪| = | 刑，A(—a, 0)及 M = Zr*o,得(xo+a) ? + F怎=a［整理得(1+妁处+2疑=0・—2a而垃工0,于是“0=亍匚0代入⑪ 整理得(1+A2)2=4A^2+4.又 a>b>Qt 故(1+F)2>4护+4,即 #+1>4,因此 #>3,所以\k\>y［3.法二：依题意，直线〃的方程为y=kx,可设点P的坐标为(心 娥). 由点P在椭圆上，得扌+晋因为f心0,所以評即（1+护）处V/②^\AP\ = \OA\及力（一日,0）,得（Xo+a）2 + /r Xo=a , 整理得（1 +F）处+2曰疋=0,于是xo =〔 +；, 代入②，得（1+G • 起2 23,所以|川>羽.法三：设 P（acos 8, hsin &）（0W&V2n）, 则线段OP的中点0的坐标为［号cos 8,彳sin &）.\AP\ = \ OA\<^AO1.02 沁 A=-1. 又力（一日,0）,所以心=夕?山一°帀,2.a~v acQS （7即 bs i n 0 — ak/os 0 =2akAo・从而可得 12akAo\ Wyj6 + /gJ 1 + 煽,解得I如V零 故|川=侖>筋.［方法点拨］求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量.［对点演练］2 2（2016 -长春市质量检测）椭圆牛+召=1@>b>0）的左、右焦点分别为F、、% 且离心 a b率为*，点P为椭圆上一动点，\F\PH面积的最大值为⑴.（1）求椭圆的方程；⑵设椭圆的左顶点为4,过右焦点斤的直线/与椭圆相交于儿8两点，连接加，AB 并延长分别交直线"=4于/?, 0两点，问転•扇是否为定值？若是，求出此定值；若不 是，请说明理由.解：⑴已知椭圆的离心率为*,不妨设c=t, a=21,则b=g,其中t>0,当△斤朋面积取最大值时，点P为短轴端点， 因此寸・2十•羽十=羽，解得十=1,X v则。