概率论与数理统计1.1随机事件与概率.pdf

概 率 论 与 数 理 统 计概 率 论 与 数 理 统 计 第 1 章随机事件与概率第 1 章随机事件与概率 1.1随机事件 1.2随机事件的概率 1.3古典概型与几何概型 1.4条件概率 1.5事件的独立性 1.1随机事件 1.2随机事件的概率 1.3古典概型与几何概型 1.4条件概率 1.5事件的独立性 1.1随机事件1.1随机事件 一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 四、随机事件 五、事件间的关系和运算 六、随机事件的运算规律 七、事件域 一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 四、随机事件 五、事件间的关系和运算 六、随机事件的运算规律 七、事件域 概率论是研究和揭示概率论是研究和揭示 随机现象统计规律性随机现象统计规律性 的一门数学学科的一门数学学科 在一定条件下结果在一定条件下结果必然出现(发生)必然出现(发生)的现象称为的现象称为确定性 现象 确定性 现象 (1)(1) “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”, , 1.确定性现象1.确定性现象 (2)(2)“水从高处流向低处水从高处流向低处” 实例实例 自然界和社会上所观察到的现象:自然界和社会上所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 确定性现象 随机现象 一、随机现象一、随机现象 确定性现象的特征确定性现象的特征条件完全决定结果条件完全决定结果 确定性现象揭示了条件和结果之间的确定性 联系,这种联系可用确定性的 确定性现象揭示了条件和结果之间的确定性 联系,这种联系可用确定性的方程或论述方程或论述来描 述。

来描 述 许多科学定律和理论，例如物理中的牛顿三 大定律，以及化学中的各种定律等等都是对 确定性现象规律的描述 许多科学定律和理论，例如物理中的牛顿三 大定律，以及化学中的各种定律等等都是对 确定性现象规律的描述 说明说明 可能出现的可能出现的结果结果: : “1 1”, , “2 2”, , “3 3”, , “4 4”, , “5 5”或或“6 6” 实例1实例1 “抛掷一粒骰子,观察出现的点数抛掷一粒骰子,观察出现的点数” 2.随机现象2.随机现象 实例2实例2 “你未来第一个宝宝的性别你未来第一个宝宝的性别” 女,男可能出现的结果：可能出现的结果： 实例3实例3 “观察明天的天 气 观察明天的天 气”可能出现的结果：可能出现的结果：晴，多云，雨 晴，多云，雨 随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果，但全 部可能出现的 条件不能完全决定结果，但全 部可能出现的基本结果基本结果是确定 的 是确定 的 在一定条件下，存在多个相互排斥的结 果，而在结果出现之前不可能准确预知的 现象称为随机现象 称随机现象的这种相互排斥的结果为基本结 果 基本结 果 问题问题 什么是随机试验?什么是随机试验? 说明说明 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,这 种联系无法用确定的方程或论述来描述。

随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,这 种联系无法用确定的方程或论述来描述 同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能结果 出现的频率具有稳定性 同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能结果 出现的频率具有稳定性 称随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性为随机现象的统计规律性 称随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性为随机现象的统计规律性 如何来研究随机现象的统计规律性？如何来研究随机现象的统计规律性？ 随机现象的统计规律性是通过随机试验来研究的随机现象的统计规律性是通过随机试验来研究的 二、随机试验二、随机试验 使随机现象得以实现和对它进行观察的全过 程通称为 使随机现象得以实现和对它进行观察的全过 程通称为随机试验随机试验, 在概率论中，随机试验也 简称为 在概率论中，随机试验也 简称为试验试验 随机试验是对随机现象进行的实验或观察随机试验是对随机现象进行的实验或观察 要完成一个随机试验，主要是要明确它的要完成一个随机试验，主要是要明确它的“一 定条件 一 定条件”，以及由它产生的，以及由它产生的全部可能的基本结 果 全部可能的基本结 果这里的这里的“一定条件一定条件”可以是可以是人为的人为的，也可以 是 ，也可以 是客观存在的客观存在的。

定义定义 在本课程中，一般要求随机试验具有 以下三个特征: 在本课程中，一般要求随机试验具有 以下三个特征: 1.1. 可以在相同的条件下重复地进行;可以在相同的条件下重复地进行; 2.2. 每次试验的基本结果不止一个,并且能事 先明确试验的全部可能基本结果; 每次试验的基本结果不止一个,并且能事 先明确试验的全部可能基本结果; 3.3. 进行一次试验之前不能确定哪一个基本 结果会出现 进行一次试验之前不能确定哪一个基本 结果会出现 分析分析 (1)(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行; ; 1 1.抛掷一枚硬币,观察.抛掷一枚硬币,观察正面H正面H 和和反面T反面T出现的情况出现的情况 (2)(2)试验的所有可能基本结果:试验的所有可能基本结果: 正面H正面H (3)(3)进行一次进行一次试验之前不能确定哪一个基本结果会出 现 试验之前不能确定哪一个基本结果会出 现 故为随机试验故为随机试验 反面T反面T 实例实例 历史上投掷历史上投掷硬币试验的记录硬币试验的记录 实 验 者 德摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊 n n(H)n(H) 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005 同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验 投掷硬币试验的统计规律性投掷硬币试验的统计规律性 7 7.记录某地区一昼夜的最高温度和最低温 度。

.记录某地区一昼夜的最高温度和最低温 度 6 6.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命从一批灯泡中任取一只,测试其寿命 4 4. .“抛掷一枚骰子,观察出现的点数抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. . 5 5.记录某城市120急救台一昼夜接到的呼唤 次数 .记录某城市120急救台一昼夜接到的呼唤 次数 2 2. .“抛掷一枚硬币三次,观察抛掷一枚硬币三次,观察正面H正面H和和反面T反面T出现 的情况 出现 的情况” 3 3. .“抛掷一枚硬币三次,观察抛掷一枚硬币三次,观察正面H正面H出现的次数出现的次数” 说明说明 在概率论中，试验是一个含义较广的术语，它既包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 在概率论中，试验是一个含义较广的术语，它既包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查调查”、、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等 在概率论中，试验通常用英文字母 等 在概率论中，试验通常用英文字母 E E 来表 示 来表 示 三、样本空间三、样本空间 随机试验随机试验 E E 的全部可能基本结果组成的集合 称为 的全部可能基本结果组成的集合 称为 E E 的的样本空间样本空间，简记为大写希腊字母，简记为大写希腊字母 (omega)。

omega) 样本空间的元素，即样本空间的元素，即 E E 的每个基本结 果，称为 的每个基本结 果，称为样本点样本点，简记为小写希腊字母，简记为小写希腊字母 (omega) omega) 例子例子 1.抛掷一枚硬币,观察正面H和反面T出现的情况1.抛掷一枚硬币,观察正面H和反面T出现的情况 1 1：H，T：H，T 2.抛掷一枚硬币三次,观察正面H和反面T出现的情况2.抛掷一枚硬币三次,观察正面H和反面T出现的情况 2 2：HHH，HHT，HTH，THH， HTT，THT，TTH，TTT ：HHH，HHT，HTH，THH， HTT，THT，TTH，TTT 3.抛掷一枚硬币三次,观察正面H出现的次数3.抛掷一枚硬币三次,观察正面H出现的次数 3 3：0，1，2，3：0，1，2，3 4 4：1，2，3，4，5，6：1，2，3，4，5，6 5.记录某城市120急救台一昼夜接到的呼唤次数5.记录某城市120急救台一昼夜接到的呼唤次数 5 5：0，1，2，3，：0，1，2，3， 6.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命6.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命 6 6：tt0：tt0 7.记录某地区一昼夜的最高温度和最低温度7.记录某地区一昼夜的最高温度和最低温度 7 7：（x, y）T：（x, y）T0 0 xyTxyT1 1 4.抛掷一枚骰子,观察出现的点数4.抛掷一枚骰子,观察出现的点数 四、随机事件四、随机事件 例例 在在E E2 2中，A中，A1 1HHH, HHT, HTH, HTT表示HHH, HHT, HTH, HTT表示“第一次出 现的是H 第一次出 现的是H”这一事件；A这一事件；A2 2=HHH, TTT表示=HHH, TTT表示“三次出现同 一面 三次出现同 一面”这一事件。

在 这一事件 在E E6 6中，若质量标准是使用寿命在500小时以上，则 Att500就表示合格品这一事件 中，若质量标准是使用寿命在500小时以上，则 Att500就表示合格品这一事件 定义：定义：随机试验随机试验基本结果的恃征基本结果的恃征(性质性质)称为称为随机 事件 随机 事件，简称为，简称为事件事件显然一个事件是由具有该事件 所要求的特征的那些基本结果所组成，因此，随机事 件的抽象定义为 显然一个事件是由具有该事件 所要求的特征的那些基本结果所组成，因此，随机事 件的抽象定义为样本空间的子集样本空间的子集，并简记为大写英 文字母 ，并简记为大写英 文字母A A，，B B，，C C，， 基本事件基本事件: :由一个样本点组成的单点集； 除了必然事件和不可能事件外，其它随机事件 A在随机试验中可能出现、也可能不出现，若 试验的基本结果 由一个样本点组成的单点集； 除了必然事件和不可能事件外，其它随机事件 A在随机试验中可能出现、也可能不出现，若 试验的基本结果A，则称随机事件A在试验 中出现 A，则称随机事件A在试验 中出现 必然事件必然事件: 样本空间: 样本空间本身；本身； 不可能事件不可能事件: : 空集。

空集 事件就是事件就是随机现象(随机试验)的结果随机现象(随机试验)的结果 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性就是指同一随机试验在大量重 复时，其事件出现的频率具有稳定性 就是指同一随机试验在大量重 复时，其事件出现的频率具有稳定性 10 包含关系 A B BA 五五、事件间的关系与运算 事件A出现事件B出现事件A出现事件B出现 A 文氏图(Venn diagram) 若且，即A=B，则称事件A与事件B相 等 BAAB A B E2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT, B=HHH,TTT 20和事件30 积事件 BA 或BA ?BA A B BA或AB A A 40 互不相容(互斥) 50对立事件 BA BA BA A AB B A 逆事件逆事件 n个事件互不相容 可列无穷个事件互不相容 AA AA AA ),, 2, 1,,(njijiAA ji ), 2, 1,,(jijiAA ji 60差事件BA A B BA BA A A B ABAAB AB 70 完备事件组 称n个事件构成一个完备事件组，若: n AAA,,, 21 n个事件互不相容： 可列无穷个事件互不相 容： n AAA 21 ),, 2, 1,,(njijiAA ji 称可列无穷个事件构成一个完备事件 组，若: ,,,, 21n AAA ), 2, 1,,(jijiAA ji 1i i A a. b. a. b. 幂等律:幂等律: AAAAAA, 。