有限元地MATLAB解法.doc

word有限元的MATLAB解法1.打开MATLABpdetool〞再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口〔PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写〕，需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进展制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进展编辑并〔如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标〕用算术运算符将图形对象名称连接起来，假如还需要，可进展储存，形成M文件4.用左键双击矩形进展坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标5.进展边界设置：点击“Boundary〞中的“Boundary Mode〞,再点击“Boundary〞中的“Specify Boundary Conditions〞,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。

6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode〞命令，进入PDE模式，单击“PDE Specification〞,设置方程类型，“Elliptic〞为椭圆型，“Parabolic〞为抛物型，“Hyperbolic〞为双曲型，“Eigenmodes〞为特征值问题7.对模型进展剖分：点击“Mesh〞中“Initialize Mesh〞进展初次剖分，假如要剖的更细，再点击“Refine Mesh〞进展网格加密8.进展计算：点击“Solve〞中“Solve PDE〞,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者EzPlot〞菜单下“Parameters〞选项，打开“Plot Selection〞对话框选中Color,Height(3-D plot)和Show mesh三项，然后单击“Plot〞按钮，显示三维图形解10.如果要画等值线图和矢量场图，单击“Plot〞菜单下“Parameters〞选项,打开“Plot Selection〞对话框选中Contour和Arrows两项，然后单击Plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图11.将计算结果条件和边界导入MATLAB中：点击“Export Solution〞,再点击“Mesh〞中“Export Mesh〞。

12.在MATLAB中将编好的计算程序导入，按F5运行备注：Property〔属性〕用于画图时选用相应的绘图类型u 方程的解abs(grad(u)) 每个三角形的中心的▽u的绝对值abs(c*grad(u)) 每个三角形的中心的c·▽u的绝对值- grad(u) u的负梯度-▽u我们也可以用MATLAB程序求解PDE问题，同时显示解的图形；一个长直接接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位均为0，顶盖电位为100V，求槽内的电位分布：〔1〕画出剖分图〔尺寸与书上一样〕；〔2〕标出各剖分点坐标值；〔3〕求出各点电位值〔用有限差分〕；〔4〕画出等电位图解：〔1〕编写以下程序得：x=0:5y=0:5[X,Y]=meshgrid(x,y)plot(X,Y)hold onplot(Y,X)for i=0:5 s=i:5 t=0:(5-i) plot(s,t) plot(t,s)end得到剖分图如下：〔2〕用有限元法编写程序如下：Nx=6;Ny=6;Xm=5;Ym=15;Np=5;Nq=5;for i=1:Nxfor j=1:Ny N(i,j)=(i-1)*Ny+j; /i列j行的节点编号/ X(N(i,j))=(i-1)*Xm/Np;/节点横坐标/ Y(N(i,j))=(j-1)*Ym/Nq;/节点纵坐标/endendfor i=1:2*Xm for j=1:Ym if rem(i,2)==1 L(i,j)=(i-1)*Nq+j; p(i,j)=2*(i-1)*Ny/2+Ny+j+1; q(i,j)=p(i,j)-Ny; r(i,j)=q(i,j)-1; else rem(i,2)==0 L(i,j)=(i-1)*Ny+j; p(i,j)=(2i-2)*Ny/2+j; q(i,j)=p(i,j)+Ny; r(i,j)=q(i,j)+1; end endendfor i=1:2*Xm for j=1:Ymb(p(i,j))=Y(q(i,j))-Y(r(i,j));b(q(i,j))=Y(r(i,j))-Y(p(i,j));b(r(i,j))=Y(p(i,j))-Y(q(i,j));c(p(i,j))=X(r(i,j))-X(q(i,j));c(q(i,j))=X(p(i,j))-X(r(i,j));c(r(i,j))=X(q(i,j))-X(p(i,j));area(i,j)=(b(p(i,j))*c(q(i,j))-b(q(i,j))*c(p(i,j)))/2; K=zeros(Nx*Ny); Kpp(i,j)=(b(p(i,j))^2+c(p(i,j))^2)/(2*area(i,j));Kpq(i,j)=(b(p(i,j))*b(q(i,j))+c(p(i,j))*c(q(i,j)))/(2*area(i,j)); Kpr(i,j)=(b(p(i,j))*b(r(i,j))+c(p(i,j))*c(r(i,j)))/(2*area(i,j));Kqp(i,j)=Kpq(i,j); K (i,j)=(b(q(i,j))^2+c(q(i,j))^2)/(2*area(i,j));Kqr(i,j)=(b(q(i,j))*b(r(i,j))+c(q(i,j))*c(r(i,j)))/(2*area(i,j));Krp(i,j)=Kpr(i,j); Krq(i,j)=Kqr(i,j); Krr(i,j)=(b(r(i,j))^2+c(r(i,j))^2)/(2*area(i,j)); endendfor i=1:2*Xm for j=1:YmK(p(i,j),p(i,j))=Kpp(i,j)+K(p(i,j),p(i,j));K(p(i,j),q(i,j))=Kpq(i,j)+K(p(i,j),q(i,j));K(p(i,j),r(i,j))=Kpr(i,j)+K(p(i,j),r(i,j));K(q(i,j),p(i,j))=Kqp(i,j)+K(q(i,j),p(i,j));K(q(i,j),q(i,j))=K (i,j)+K(q(i,j),q(i,j));K(q(i,j),r(i,j))=Kqr(i,j)+K(q(i,j),r(i,j));K(r(i,j),p(i,j))=Krp(i,j)+K(r(i,j),p(i,j));K(r(i,j),q(i,j))=Krq(i,j)+K(r(i,j),q(i,j));K(r(i,j),r(i,j))=Krr(i,j)+K(r(i,j),r(i,j)); endendfor i=1:11 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endfor i=1:11:111 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endfor i=111:121 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endfor i=11:11:121 K(i,:)=0; K(i,i)=1;endB=zeros(121,1);for i=11:11:121 B(i,1)=100;endU=K\B;b=1;XX=zeros(11,11)for j=1:11 for i=1:11 XX(i,j)=U(b,1); b=b+1; endendsubplot(1,2,1),mesh(XX)axis([0,11,0,11,0,100])subplot(1,2,2),contour(XX,15)hold on〔3〕由上面的程序得到节点电位：〔4〕由程序得到的电场分布图与等位线图如下： / 4.用有限元法求矩形波导〔b/a=0.45〕的： 〔1〕电场分布图； 〔2〕求TE模式下的主模、第一、二高次模的截止波长〔5次〕，画出截至波长图； 〔3〕求TM模式下的主模、第一、二高次模的截止波长〔5次〕，画出截至波长图。

解：利用MATLAB中的PDE工具箱：取矩形波导的宽边尺寸为a，窄边尺寸为0.45a1） 主模的电场分布图如下： 在Neumann边界条件下：在Dirichlet边界条件下：〔2〕在TE模式下设置边界条件为Neumann条件，使用编制好的程序计算出主模的截止波长为1.9988a，第一高次模为0.9977a，第二高次模为0.8972a，截止波长图如下： 〔3〕在TM模式下设置边界条件为Dirichlet条件，使用编制好的程序计算出主模的截止波长为0.8179a，第一高次模为0.6655a，第二高次模为0.5315a，截止波长图如下：5.用时域有限差分求解上述4题中的前两问解：〔1〕根据时域有限差分编写的程序可画出主模的电场分布图如下： 在Neumann边界条件下：在Dirichlet边界条件下：〔2〕根据时域有限差分编写的程序可画出频谱图和场结构图，从左图中可以读出主模截止频率值，主模，根据，其中, 从而计算出主模截至波长。