2020年中考数学专题——评析一道中考数学压轴题.pdf

立意新颖彰显本色评析一道中考数学压轴题 每年各地的中考试题，不仅承载了中考命题的特色，而且也为下一届中考复习指明了方向.但是徐州 2019年的中考，似乎推翻了以往的命题模式，达到令人难以把握方向的地步.那么，对于中考压轴题，是 不是试题模式今非昔比，彼此之间再也找不到关联了呢?本文以 2019 年徐州中考数学第28 题为例，剖析 其与往年压轴题之间的异同，希望对来年的中考复习提供借鉴和帮助. 一、试题呈现 如图 1，平面直角坐标系中，点,A B分别在x轴、y轴的正半轴上，AOBV的两条外角平分线相 交于点P，点P在反比例函数 9 y x 的图象上， PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于 点D，连结CD. (1)求P的度数及点P的坐标 ; (2)求OCDV的面积 ; (3)AOBV的面积是否存在最大值?若存在，求出最大面积，若不存在，说明理由. 二、试题分析 从表面上看，本题是一道反比例函数问题，但经过仔细阅读、分析，可以发现今年的压轴题与往年压 轴题还是有一些相同之处的， 1.动态变换 中学阶段要求的动态变换(平移、旋转、翻折)仍然占据主要地位，点的运动仍贯穿其中，因而解题仍 然可以沿袭以前的方法. 点,A B分别在x轴、y轴的的正半轴上运动，间接地体现了一种动态.以前探讨 过，关于动态问题的解决方式是“以静制动”，所以解决这一问题的关键是“寻找不变”，达到“以不变应 万变”解题之策 . 2.基础渗透 题中提到AOBV的两条外角平分线相交于点P，那么根据角平分线的定义及其性质，自然想到由 点P分别向外角的两边作垂线(如图 2).则有PMPHPN，从而可以判断出四边形PMON正方 形，于是得出45CPD，点P的坐标为(3,3). 3.能力的运用 怎样求OCDV的面积 ?你会发现， 随着点 A与点B的运动， 点C与点D也在运动，,OC OD的长 在发生改变，然而你要解决的是求 OCDV 的面积，那只有一种解释，它是一个定值，就是 OD 与CD的 乘积不变 .由线段的乘积问题，伴随知识的迁移，会使你想到相似三角形. 最后一问是最值问题，你的脑海中会呈现出所有有关最值的信息，可从中选取你所需要的方法，然后 再解答 . 三、解法探究 第(1)问较简单，由分析可得 45CPD ，点(3,3)P. 对于第 (2)问，可以从三个角度来给予解答. 1.几何变换法 如图 3，连结OP， 则135POCPOD. 45OPCOCPOPCOPD， OCPOPD， OPCODPV: V ， OPOC ODOP ， 即 2 OC ODOPg 22222 3318OPONPN， 211 9 22 OCD SOC ODOPg. 2.勾股定理与相似法 如图 3，可知MANBAB. 不妨设,MAx NBy， 则ABxy， 3AOx， 3BOy. 根据勾股定理，得 222 ()(3)(3)xyxy， 即9 3()xyxy. AMPACOV: V ， MPMA OCOA ， 93x OC x . 同理，可得 93y OD y . 1 2 OCD SOC ODg 1 9393 2 xy xy gg 9 93() 2 xyxy xy g 9 2 9 2 xy xy g. 3.解析法 设(0, )Aa，( ,0)B b，则直线PA的函数关系式为 3 3 a yxa，直线PB的函数关系式 33 33 b yx bb . 令 3 3 a yxa中的0y，可求得 3 3 a x a ， 即C点坐标为 3 (,0) 3 a a . 同理，可得 D点坐标为 3 (0,) 3 b b . 1 2 OCD SOC ODg 133 233 ab ab gg 9 23()9 ab abab g. 在Rt AOB中，由勾股定理得 222 ABOAOB， 即 222 (6)abab ， 变形，得 3()9 2 ab abab， 9 23()9 OCD ab S abab g 9 9 2 2 ab ab g. 对于第 (3)小问，笔者利用二次函数、基本不等式等方法求解AOB面积的最值问题 . 1.用二次函数求最值 如图 4，设,MAx ABa， 则NBax， 3OBax. 1 (3) (3) 2 AOB Saxxg 2 2139 () 22822 aaa x 当 2 a x时， AOB S的最大值是 2 39 822 aa . 在Rt AOB中，由勾股定理得 222 OAOBAB， 即 222 (3)(3) 22 aa a 化简，得 2 12360aa， 解得6 26a或6 26a(舍去 ). AOB S的最大值是 2 39 2718 2 822 aa . 2.运用基本不等式求最值 不难发现， AOB 的面积92 PAB SS故当PAB面积最小时，AOB面积最大 . 设,MAx NBy，则 3 () 2 PAB Sxy. 2xyxy，当且仅当xy时取等号，即xy时， PAB S最小 . 在Rt AOB中，有 22 ()2(3)xxx， 解得 1 3 2xx 2 3 2xx(舍去 ). 当63 2OAOB时， AOB S的最大值是 2 1 (63 2)2718 2 2 . 3.运用圆的有关性质求最值 如图 5，作 APB的外接圆( )E r ，对于 APB，AB边上的高3PQ ，当AB越短， APB 面积越小，则92 AOBPAB SS越大 . 45APB， 90AEB ， AEB为等腰直角三角形 . 2ABr， r越小， AB就越小 . PEEFPQ， 2 3 2 rr， 即63 2r， r的最小值为63 2， AB的最小值为6 26， AOB S的最大值是 1 9292(626)3 2 PAB S 2718 2). 4.运用方程的思想求最值 设,MAx ABa，则 BNax， 3AOx， 3BOax. 在Rt AOB中，由勾股定理得 222 OAOBAB， 即 222 (3)(3)xaxa 化简，得 2 930 xaxa. 方程有实数根， 0，即 22 1236(6)720aaa， 解得6 26a或6 26a(舍去 ). a的最小值为6 26，即AB的最小值为6 26， AOB S的最大值是 92 PAB S 1 92(626)3 2 2718 2. 四、教学反思 这道试题的出现，对我们的数学解题教学提出了更高的要求，今后我们在教学中要做到以下几点: 1.让每一个问题都插上隐形的翅膀 从表面上看，这道题似乎以考查反比例函数有关内容为主要对象，但是仔细阅读、分析发现，相似三 角形、半角旋转问题交错穿插其中.问题中出现了45 角， 给出两组角平分线，添加辅助线后出现了正方形 和半角旋转模型 . 2.问题立意新颖，变化求同存异 看到 2019 年这份中考试题，大多数老师都有一个共同感觉，命题方式变化过大.其实，如果你仔细研 究今年与去年的最后一题，发现还是有共同之处的.去年压轴题是等腰直角三角形翻折问题，等腰直角三角 形是正方形的一半，解决时与正方形的有关内容有着千丝万缕的关系，补成正方形可以完整地解答.今年的 压轴题也是与正方形有关，因此这两年的中考试题可以说是密切联系的，不是孤立存在的. 3.适时把图形变换融入到问题中去 平移、 旋转、翻折是中考常用的命题手段，去年压轴题用了翻折的思想，今年旋转思想融入其中.总之， 数学问题博大精深，命题方式千变万化，因而教师在平时教学过程中很有必要采取加一加、减一减等创新 手法，把一些重要的问题做变式练习，让学生切实掌握重要知识点，做到灵活应用，不断提升学生的解题 能力 . 。