正定二次型和正定矩阵.ppt

1第三节2一、正定二次型正定矩阵定义由定义义，可得以下结论结论 ： 充分性是显显然的；下面用反证证法证证必要性： 代入二次型，得 3由上述两个结论结论 可知，研究二次型的正定性，只要 通过过非退化线线性变换变换 ，将其化为标为标 准形，就容易由以 下定理判别别其正定性 4定理推论 实对实对 称矩阵阵A正定的充分必要条件是A的特征值值 全为为正☎正定矩阵 这是因为：5解例1 判别二次型是否正定二次型对应对应 的矩阵为阵为 ,)14)(2(2+--=lll6全为为正， 因此二次型正定 7定理设矩阵A正定，则则 （1）A的主对对角元全为为正； 证明8上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件 定理9解例2 判别二次型是否正定二次型对应对应 的矩阵为阵为 它的顺顺序主子式为为： 因此 A是正定的， 即二次型 f 正定 10解例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式为为： 解得11☎实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在 可逆矩阵C，使得 实际上，正定二次型的规范形为即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ，即存在可逆矩阵C ，使12☎证因为于是132、其它有定二次型定义如果二次型不是有定的，就称为为不定二次型。

14显显然，A是负负定（半负负定 ）的当且仅仅当-A是正 定（半正定）的由此，容易得出以下结论结论 ： （2）A负负定的充分必要条件是A的特征值值全负负； （3）A半负负定的充分必要条件是A的特征值值非正； （4）A负负定的充分必要条件是A的奇数阶顺阶顺 序主子 式全为负为负 而偶数阶顺阶顺 序主子式全为为正； （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值值非负负； （5）若A负负定，则则A的对对角元全为负为负 注意: 1.最后一条只是必要条件2.A的顺顺序主子式全非负负， A也未必是半正定的 15例如，设矩阵 显然A的顺序主子式但对角元有正有负，显然A是不定的16例5判定下列二次型是否是有定二次型 解（1）f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式 所以 f 是负负定的 17例5判定下列二次型是否是有定二次型 解（2）f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式 所以 f 是不定的 18练习：P222 习题五19END20选用例题1、解C是正定的且C是实对称阵，故C是正定矩阵21证必要性 充分性: 将上述过过程逆推,即可得证证. 。