二次函数与平行四边形综合.docx

第十八讲二次函数与平行四边形综合一、教学内容1 .二次函数的表示，二次函数图像与性质；2 .平行四边形的性质和判定；3 .函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；二、例题细看【例1】已知：如图，在平面直角坐标系xO.v中，直线丁 = 一：工+ 6与才轴、y轴的交点分别为A、B , 将NOBA对折，使点的对应点〃落在直线相上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为在直线3C上是否存在点P,使得四边形如P为平行四边形？若 存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线3c的交点为7\为线段8T上一点，直接写出|的取值 范围.【考点分析】二次函数综合题【PEC分析】（1）点A的坐标是纵坐标为3得横坐标为8,所以点A的坐标为（8, 0）；点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为（0, 6）；由题意得：BC是NAB0的角平分线，所以OOCH, BH二OB二6VAB=10t AAH=4,设 OC二x,则 AC=8-x 由勾股定理得：x=3•二点C的坐标为（3, 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函 数即可求得；（3）如图，由对称性可知Q0二QH, QA-Q0|= QA-QH .当点Q与点B重合时，Q, H、A三点共线, QA-QOl取得最大值4 （即为AH的长）；设线段0A的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与 点K重合时，IQA-Q0I取得最小值0.【跟踪练习】例1.（浙江义乌市）如图，抛物线），=/一2工一3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧）， 直线/与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2） P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形 是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.【例2】如图，点。

是坐标原点，点A（〃，0）是人•轴上一动点5<0）.以A为一边作矩形4Q3C,点C在 第二象限，且05 = 204.蛆形AOBC绕点A逆时针旋转90°得短形AGDE.过点4的直线 y = h + （女工0）交y轴于点F, FB = FA.抛物线y = 〃/+/八，+ c过点E、F、G且和直线AF 交于点过点〃作轴，垂足为点M.（1）求z的值；⑵点A位置改变时，A4MH的面积和矩形AQ3C的面积的比值是否改变？说明你的理由.【PEC分析】3）由题意知0B=20A=2n,在直角三角形AEO中，0F=0B-BF=-2n-AF,因此可用勾股定理求 出AF的表达式，也就求出了 FB的长，由于F的坐标为（0, m）据此可求出m, n的关系式，可用n替换 掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值.（2）思路同（1） 一样，先用n表示出E, F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a, b, c与n 的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出△AMH的面 积和矩形AOBC的面积进行比较即可.【跟踪练习】（1）在图1, 2, 3中，给出平行四边形A8C。

的顶点A, B,的坐标（如图所示），写B, O的坐标（如图所示），求出顶点的坐南”点出图1, 2, 3中的顶点的坐标，它们分别是（5,2）, （2）在图4中，给出平行四边形ABC0的顶点A 坐标用含〃，b, c,乩e, /的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1, 2, 3, 4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形A8CD处于直角 坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a, b）, B（c, d）,帆，〃），O（e, /）（如图4）时，则四个顶 点的横坐标a, C, 〃?，e之间的等量关系为；纵坐标b, d, 〃，/之间的等量关系为 运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线y = x2-（5c-3）x-c和三个点G j, S ,”（2c,0）（其中c>0）.问当c为何值时，该抛物线上存在点P,使得以G, S, H,夕为顶点的四边形 是平行四边形？并求出所有符合条件的尸点坐标.【例3】如图1,由A4BC中，N4 = 90tanB = ；,点P段上运动，点R分别段3C、 AC上，且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为），，已知），是x的函 数，其图象是过点（12, 36）的抛物线的一部分（如图2所示）.（1）求AB的长；（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值.为了解决这个问题，孔明和研究 性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点（12, 36）在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点（x,y）是表示图1中AP的长与矩形APQH面积的对应关系，那么（12, 36） 表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题.【考点点评】本题结合三角形、矩形的相 关知识考查了二次函数的应用，用数形 结合的思路求得相应的函数关系式是 解题的关键【PEC分析】（1）由于y是x的函数且过（12, 36）点，即AP=12时，矩形的面积为36,可求出PQ的长, 进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长.（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的 面积计算方法即可得出关于y, x的函数关系式.然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及 此时对应的x的值.【跟踪练习】如图，已知与X轴交于点41,0）和8（5,0）的抛物线4的顶点为。

3,4）,抛物线与 关于x轴对称，顶点为（7.（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点O,定点0（0,4）, A上的点P与乙上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动 到何处时，以点D O, P, P为顶点的四边形是平行四边形？（3）在乙上是否存在点“，使△A8W是以A8为斜边且一个角为30的直角三角形？若存， 求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【例4】如图，在矩形Q48c中，已知A、C两点的坐标分别为44,0）、C（0,2）,4的中点.设点尸是4OC平分线上的一个动点（不与点重合）.（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与尸相等；（2）当点尸运动到与点3的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点石是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，的周长最小？求出 此时点P的坐标和的周长；（4）设点N是矩形O48C的对称中心，是否存在点P,使NCPN = 900?若存在，请直接写出 点尸的坐标.【PEC分析】本题综合考查了三角形全等、-次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题.（1）通过△POCg^POD而证得PC=PD.（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；（3）此间首先利用对称性确定出P点位置是EC与NAOC的平分线的交点，再利用抛物线与 直线CE的解析式求出交点P的坐标.进而求的APED的周长；（4）要使NCP51=900 ,则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由 此就易于写出P点的坐标.【例5】如图，已知抛物线小,，=/一4的图象与x轴相交于A、C两点、,B是抛物线右上的动点（3不与 A、。

重合），抛物线乙与乙关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABC0的第四个顶点为 D.（1）求人的解析式；（2）求证：点一定在上；（3）平行四边形ABC露否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个 矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由.（注：计算结果不取 近似值.）【PEC分析】（1）根据11的解析式可求11与x轴的交点为A （-2, 0） , C （2, 0）,顶点坐标是（0,-4） , 12与11关于x轴对称，实际上是12与11的顶点关于x轴对称，即12的顶点为（0, 4）,设顶点 式，可求抛物线12的解析式；（2）平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B （m, n）,则点 D （-m, -n）,由于 B （m, n）点是 y=x2-4 上任意一点，则 n=m2-4, -n=- （m2-4） =-m2+4=- （-m） 2+4,可知点D （-m, -n）在12y=-x2+4的图象上；（3）构造NABO90°是关键，连接0B,只要证明0B二0C即可，为求0B长，过点B作BH_Lx轴于H,用B 的坐标为（x0, x02-4）,可求0B,用0B=0C求x0,再计算面积.【跟踪练习】如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是A（-4, 0）,仪-2,0）,七（0,8）.（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线g的解析式；（2）设抛物线G的顶点为M,抛物线G与X轴分别交于C,。

两点（点的左侧），顶点 为N,四边形MON4的面积为S.若点A,点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别 向右、向左运动；与此同时，点M,点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动，直到点A与点重合为止.求出四边形MDN4的面积S与运动时间，之间的关系式, 并写出自变量，的取值范围；（3）当/为何值时，四边形MDN4的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MON4能否形成矩形？若能，求出此时，的值；若不能，说明理由.三、课堂一试1 .如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y = 在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0, 1）, 直线/过3（0, -1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴、直线/于C、交x轴于〃， 直线PH交），轴于R.（1）求证：〃点为线段A的中点；（2）求证：四边形APQR为菱形；（3）除尸点外，直线也 与抛物线＞ =工/有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没 4有，请说明理由.2 .如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线,，=-曰工 + 2与），轴的交点A和点（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）将（1）中所求抛物线沿入•轴平移.①在篇目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿入•轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点.判断以。

为圆心，OC为半 径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3） P点是沿x轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点求尸点的坐标，使得以O、A、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形.3 .如图所示，在平面直角坐标系中，矩形A3OC的边80在入,轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上, 且AB = 1, OB = 6 ,矩形A5OC绕点按顺时针方向旋转60后得到矩形.点4的对应点为点E , 点8的对应点为点尸，点C的对应点为点抛物线），=“/+以+过点A, E, O.（1）判断点E是否在），轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；。