线性代数方阵的相似对角化.ppt

第2节 相似矩阵与矩阵的相似对角化 一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.下页相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性： A~ A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~C，则 A~C定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1APB，A与B有相同的特征多项式，|lE-B||P-1(lE)P -P-1AP ||lE-P-1AP||P-1(lE-A)P| |P-1||lE-A||P| |lE-A|，所以它们有相同的特征值.下页定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.2.1 相似矩阵及其性质 相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩； ( r(A)=r(B) )(2)相似矩阵的行列式相等； ( |A|=|B| )(3)相似矩阵的迹相等； ( tr(A)=tr(B) )注意： 上述结论的逆命题均不成立.下页定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. （|lE-B| |lE-A|） 解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即 解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即|A|=|D|＝12.下页例1. 若矩阵相似，求x,y.解得例2. 设3阶方阵A相似于,求|A|.定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 ,  , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.必要性. 设存在可逆矩阵P(x1, x2,  , xn)使P-1APL，则有可得 Axi lixi (i1, 2, , n) .因为P可逆，所以x1, x2,    , xn 都是非零向量，因而都是 A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.l100 0l2000lnA(x1, x2,  , xn) (x1, x2,  , xn) ，证明：= (l1 x1, l2 x2,  , lnxn)2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax1, Ax2,  , Axn)充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有Axi lixi (i1, 2, , n) .令 P(x1, x2,  , xn)，则(l1x1, l2x2,  , ln xn)A(x1, x2,  , xn)(Ax1, Ax2,  , Axn)AP  (x1, x2,  , xn) l10 0 0l2 000ln  PL . 因为x1, x2,  , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得 P-1APL，即矩阵A与对角矩阵L相似.下页定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 ,  , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.讨论：根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L ？提示：设 ξ1，ξ2，，ξn为A 的 n个线性无关特征向量，它们所 对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则取P(ξ1, ξ2,  , ξn)，Ldiag(l1 , l2 ,  , ln)。

下页例如，矩阵A 有两个不同的特征值l14,l2-2,5 -13 1其对应特征向量分别为x1 ，x2 . 11 -51取P(x1, x2) ，则1 -51 1所以A与对角矩阵相似. P-1AP-1 1-5 -11 6- —5 -13 11 -51 10 -24 0，问题：若取P(x2, x1)，问L？下页推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 ,  , ln) 相似.注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件.且有Ax1-2x1， Ax2-2x2， Ax34x3，向量组是A的线性无关的特征向量. 所以当P(x1, x2, x3 )时，有例如，A ，x1 ，x2 ，x3 ，163-3-6-5343101-110121P-1AP diag(-2, -2, 4) .下页A71210-12-24-1961310(1)解：(1) 矩阵A的特征方程为 l-7-12-101224l+19-6l-13-10|lE - A|矩阵A的特征值为l1l21, l3 -1，对于特征值l3-1 ，解线性方 程组(-E-A)Xo，得其基础解系x3= .3 5 6对于特征值l1l21, 解线性 方程组(E-A)Xo，2 1 0-1 0 1得其基础解系x1= , x2= .(l-1)2(l+1)0， (2)-11-4B103020下页例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .由于A有3个线性无关的特征 向量x1， x２， x３，所以A相似于对角阵L .所求的可逆矩阵为P=(x1， x２， x３) ,201-110365对角阵为L  ,1000010-10满足 P-1 A P L .下页(2)-11-4B103020例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .A71210-12-24-1961310(1)l+1-14-10l-30l-20|lE - B|(l-2)(l-1)20， 矩阵B的特征值为l1l21, l32 .对于特征值l1l21, 解线性方 程组(E-B)Xo，得其基础解系x1= ，1 2 -1对于特征值l32，解线性方 程组(2E-B)Xo，得其基础解系x2= .0 0 1显然， B不能相似于对角阵.下页(2)-11-4B103020例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .解：(2) 矩阵B的特征方程为A71210-12-24-1961310(1)(1)(2)-11-4B103020例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .由于B只有2个线性无关的 特征向量ξ1，ξ２，所以Ｂ不 相似于对角阵。

思考： 矩阵Ａ和Ｂ都有重特征值 为何Ａ相似于对角阵，而Ｂ 不相似于对角阵 ？下页A71210-12-24-1961310解：由A和B相似可知，它们的迹、行列式都相等，即l1l22, l36 .对于特征值l1l2２, 解线性方程组(2E-A)Xo，-1 1 01 0 1得其基础解系x1= ,x2= .对于特征值l36，解线性方 程组(6E-A)Xo，得其基础解系x3= ，1 -2 3由于A和B相似，且B是一个所以下页例4. 设矩阵A,B相似，其中①求x , y的值； ②求可逆矩阵P，使P-1AP=B.解得对角阵，可得A的特征值为解：由所给条件知矩阵A的特征值为l11, l20, l3 -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值的特征向量.容易验证a1, a2, a3是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，所以A相似于对角阵L＝diag(1, 0, -1).取P＝(a1, a2, a3)， 则有P-1 A P L ，所以A = P L P -1 A 5= PL 5P -1  PL P-1=A . 下页例5. 设3阶方阵A满足Aa1a1，Aa2o，Aa3-a3，其中 a1(1,2,2)T, a2(0,-1,1)T, a3(0,0,1)T, 求A和A5.作业：P136页5 (1)(2) (3)结束推导l100 0l2000ln(x1, x2,  , xn) = (l1 x1, l2 x2,  , lnxn)l100 0l2000ln返回B = ，求AB. A ， 示例．设2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0解：2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB 5-38（2）先列后行法B = ，求AB. A ， 示例．设2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0解：2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB 5-38 -7 0 -7（2）先列后行法B = ，求AB. A ， 示例．设2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0解：2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB 5-38 -7 0 -7-6-9-32 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB2 3 1 -2 3 1122 3 1 -2 3 1-2-12 3 1 -2 3 1-30即（2）先列后行法返回2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.例如，5 -13 1A0 -24 0B，，1 -51 1P，因为1 -51 1 -1 1-5 -11 6- —P-1AP5 -13 11 -51 12-2-20-41 6 - —0 12-24 0 -—1 6 0 -24 0，所以A~B .下页定义1 含有n个变量的二次齐次函数叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, …,n)都是实数时,称为实二次型.特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.下页第3节 二次型的概念练习：下页回忆：二次型的矩阵形式令下页得下页下页，其中A是对称矩阵实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角阵.下页,其中,其中则 f 的矩阵形式为A是对称矩阵例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. (1) (2)(2)二次型系数矩阵为因r(A)=3, 故二次型的秩等于3.因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.解: (1)二次型下页系数矩阵为由变量y1, y2,…, yn到x1, x2,…, xn的线性变换若|P|≠0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换.记作 X=P。