二分法求函数零点教案.docx

文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.#文档收集于互联网，已整理， word版本可编辑.用二分法求方程的近似解1、二分法的概念对于在区间［a, b］上连续不断且f(a) • f(b)< 0的函数y f (x),通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点的近似值的方法叫二分法2、用二分法求函数 f (x)的零点的近似值的步骤：(1)确定区间［a, b］,验证：f(a) • f(b)< 0,确定精确度(2)求区间(a , b)的中点x1(3)计算f(xi) 若f (x1)=0，则就〜是函数的零点若 f(a) • f (x1) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x°€ (a, x1)) 若 f(x1)・ f(b)

否则为不变号零点二分法只能求函数的变号零点解：应选B,利用二分 法求函数零点必须满足零 点两侧函数值异号例2、利用二分法求方程1 ,, “、一 ，一-3 x的一个近似解 x(精确到0.1)一 、一 1 _ 1解：设f x 1 x 3 ,则求方程- 3 x的一个近似解，即求函数 f x的一个近似零x x.一一 1 1 一 一一 点••• f 2 — 0, f3 — 0, •••取区间2,3作为计算的初始区间2 3用二分法逐次计算，列表如下:端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间•••区间25625，？625的左右端点精确到 0.1所取的近似值都是 2.6,，函数f (x)满足题设的一个近似零点是 2.6解：由上表提供数值大于 0的自变量的取值集合是(，2) (3, )评析：开口方向是解题关键信息，零点是- 2, 3,且开口向上，3 2例4、已知函数f(x) x 2x 5x 6的一个零点为1(1)求函数的其他零点；(2)求函数值大于0时自变量x的取值范围 2 3 2解：(1)由题意，设 f(x) (x 1)(x mx n) x (m 1)x (n m)x n,m 1 2n m 5 m 1..n 6 解得 n 6 令 f(x) °,2即(X 1)(x x 6) °,解得x 1, —2, 3 函数的其他零点是一2, 3(2,1) (3,)(2)函数的三个零点将x轴分成4个区间：(，2], ( 2,1] , (1,3], (3,]作出函数的示意图，例5、求函数f(x) =x2—观察图象得函数值大于 °时自变量x的取值范围是: 5的负零点(精确度0.1).【解析】 由于 f( —2)=—1<0, f(-3) = 4>0,故取区间(一3, — 2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图:区间中点中点函数值(或近似值)(—3, -2)-2.51.25(—2.5, -2)-2.250.0625(-2.25, - 2)-2.125—0.484 4(-2.25, — 2.125)-2.187 5-0.214 8(-2.25, - 2.187 5)-2.218 75-0.077 1由于 | — 2.25-(-2.187 5)| = 0.062 5<0.1 ,所以函数的一个近似负零点可取一2.25.达标练习:1 .下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A. f(x)=x3—8 B.f(x)=lnx+3 【答案】 CC. f(x) =x2+2>/2x+2 D . f(x) = - x2+4x+12 .用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0 , f(1.5)>0 , f(1.25)<0,则方程的根在区间( )A. (1.25,1.5) B. (1,1.25) C. (1.5,2) D.不能确定【解析】 由题意知f(1.25) f(1.5)<0 , •♦.方程的根在区间(1.25,1.5)内,故选A.3 .若函数f(x) = x3+x2—2x—2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下:f(1) = - 2, f(1.5)= 0.625, f(1.25) =— 0.984f(1.375) =— 0.260, f(1.437 5) =0.16, f(1.406 25) = — 0.0542,那么方程x3+x2—2x—2=0的一个近似根(精确度0.1)为.【解析】 根据题意知函数的零点在 1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5- 1.406 25| = 0.031 25<0.1 ,故方程的一个近似根可以是 1.437 5.答案不唯一，可以是［1.437 5,1.406 25］之间的任意一个数.【答案】1.437 514、方程2 x= ln x的根的个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】 方法一：令 f(x) = ln x - 1 x, 则 f(1) = —』<0, f(e) = 1—1>0,2 2 2ef(x)在(1, e)内有零点.又f(x)在定义域(0, +8)上为增函数，f(x)在定义域内仅有11个零点.方法二：作出 y= 2*与丫=皿x的图象观察可知只有一个父点.故选 B.5、方程2-1 + x=5的解所在的区间是( )A. (0,1) B. (1,2) C, (2,3) D, (3,4)【解析】 令 f(x)=2x 1+x-5,则 f(2) = 2+2-5=- 1<0, f(3) =22+3-5= 2>0,从而方程在区间(2,3)内有解.故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…2y= x0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x=x2的一个根所在区间为( )A. (0.6,1.0) B. (1.4,1.8) C. (1.8,2.2) D. (2.6,3.0)【解】 设f(x) =2x-x2,由表格观察出在 x=1.8时，2x>x2,即f(1.8)>0 ;在x = 2.2时，2x0, ,. f(2) f(1)<0 , 故选 B.二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2) f(4)<0 ,给定精确度 彳0.01,2 4取区间(2,4)的中点xi = —= 3,计算得f(2) f(xi)<0,则此时零点xoC(填区间).【解析】 由f(2) f(3)<0可知. 【答案】(2,3)9、用二分法求方程 x3-2x-5=0在区间［2,3］内的实数根时，取区间中间 xo=2.5,那么下一个有根区间是 .【解析】•••f(2)<0, f(2.5)>0 , ，下一个有根区间是 (2,2.5).三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x3+3x—3 = 0的一个近似解(精确度0.1).【解析】 设f(x) = 2x3+3x—3,经试算，f(0)= —3<0, f(1)=2>0,所以函数在(0,1)内 存在零点，即方程 2x3+3x —3=0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0, 又f(1)>0,所以方程2x3+3x —3= 0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表:(a, b)(a, b)的中点f(a)f(b)a+ b f 2(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因为|0.687 5-0.75|= 0.062 5<0.1 ,所以方程 2x3+ 3x- 3= 0的精确度为 0.1的一个近似解可取为0.75.11、求方程ln x + x-3= 0在(2,3)内的根(精确到0.1).【解析】 令f(x)=ln x+x—3,即求函数f(x)在(2,3)内的零点.用二分法逐步计算.列表如下:区间中点中点函数值[2,3]2.50.416 3[2,2.5]2.250.060 9[2,2.25]2.125-0.121 2[2.125,2.25]2.187 5-0.029 7[2.187 5,2.25]由于区间［2.187 5,2.25］的长度2.25— 2.187 5=0.062 5<0.1 ,所以其两个端点的近似值 2.2就是方程的根.下为学生卷用二分法求方程的近似解1、二分法的概念对于在区间［a, b］上连续不断且 f(a) • f(b)< 0的函数y f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点的近似值的方法叫二分法。

2、用二分法求函数 f (x)的零点的近似值的步骤：(1)确定区间［a, b］,验证：f(a) • f(b)< 0,确定精确度(2)求区间(a , b)的中点x1(3)计算f(xi)若f (x1)=0，则就“是函数的零点若 f(a) • f (xi)< 0 ,则令 b = xi (此时零点 x0€ (a, x1))若 f(x1)・ f(b)