数学教学中类比思想的培养.doc

数学教学中类比思想的培养牛顿发现了万有引力定律，提出两个物体之间的引力大小与它们质 量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比库仑在研究电荷后想， 两静电荷Z间的作用力（库仑力），它的大小符合什么样的规律呢？他根 据万有引力定律，大胆猜想，得出了著名的库仑定律：库仑力的大小类似 于万有引力，即与电量强度的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比, 并通过实验，证实了自己的猜想库仑在万有引力的基础上，通过类比， 得出库仑定律难怪英国物理学家开普勒感叹道：类比是我最好的老师 可见，类比思想在知识的创新过程中，起着多么重要的作用类比就是从一类事物所具有的属性，通过联想，得到另一类事物也具 有类似属性的思想方法通过类比，可以创造新的命题，它是创造性思维 的源泉之一在日常教学中，如何渗透类比思想呢？一、培养学生类比思想的切入点（1）从已知的数学“概念”出发数学的概念教学，是数学课中很 重要的组成部分，但往往被忽视，认为记住概念就可以了其实，数学概 念蕴含着丰富的内涵，有些概念往往可作为培养学生类比思想的好索材 比如：（凸）多边形和（凸）多面体概念多边形：由三条或三条以上的 线段（边）围成的封闭的平面图形。

多面体：由四个或四个以上的多边形 （面）围成的封闭的几何体多边形有关的概念：角、边长、顶点、高、 面积等多面体有关的概念：二而角、表而积、顶点、体高、体积等可 以发现：两概念极为相似因此，平面儿何与立体儿何之间可能存在某些 类似性质要研究这些性质，得先找岀两者之间一些概念的对应关系可 以引导学生，从两者的定义出发，导出两者之间可能存在的类比规律：平 面图形由“边”围成，立体图形由“面”围成，显然“边”对应“面”； 某一“边长”对应某一面的“面积”;两边构成“角”,两面构成“二面角”, 那么“角”对应“二面角”；多边形的“顶点”对应多面体的“顶点”；多 边形的“面积”对应多面体的“体积”等等篇幅所限，图略）从熟悉 的数学概念着手，培养学生类比的思想，既强化概念学习的重要性，又亲 身体验了类比规律得出的过程，学生比较容易接受下面，是类比规律的 运用、验证示例例1:真命题：平面几何中有如下命题：正三角形内（或边上）任意 一点到三边的距离之和等于正三角形的高请运用类比和联想把此命题推 广到空间，写出类似的命题并证明是否成立根据类比规律，可得以下命题：正四面体内（或面上）任意一点到四 个血的距离Z和等于正四血体的高。

例2：任意AABC中有余弦定理：AB2二BC2+AC2-2BC?AC?cosZACB・类 比余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面积之间的关系式并证明根据类比规律，可得以下命题：S2・AA・C・C二S2・・+S2・・-2S・？S ■ ?COSa （a是二面角A-BB1-C的大小）（2）从数学中一些公式的“形”出发数学中有很多公式，教师一 般比较强调公式的应用，但对于利用有些公式“形”來对学生进行类比思 想的培养则比较忽视而利用公式的“形”培养学生的类比意识，是一种 非常肓观，学生比较容易接受的方式比如等差数列与等比数列的通项公 式等差数列的通项公式:an=al+ (n-1) d, an = am+ (n-m) d；等比数 列的通项公式：an=alqn-l , an=amqn-m (m, nWN*)可以把公式变形： an二al+d+d+・・・+d?圮(类比)an=al XqXqX ••• Xq, an~am= (n-m) d?圮 (类比)■二qn-in学生通过观察、分析上述公式，容易得出两种数列Z 间可能存在的类比规律：等比数列d + - 0系数类比规律？邺？邺？邺？邺？邺等差数列q X三1指数一些常见的满足上述类比规律公式：①若m、n、k、1?缀N?鄢，且 m+n二k+1,在等差数列中am+an=ak+al ；在等比数列中aman=akal 。

②a、 b、c成等差数列，则2b=a+c； a> b、c成等比数列，则b2=aco③数列a ■为等差数列，前n项的和Sn^nal + Hd；数列a■为等比数列，前n项的 积等等类比规律的运用、验证示例如下例3：真命题：等差数列a■中，■二■成立，请把此性质推广到等比 数列中，并证明是否成立根据此等式的特点，利用类比规律容易得出结论：在等比数列a■中, 如果 an>0,则等式(aH XaH ) ■= (aH XaH X ••• XaH ) ■成立例4： &■, &■,…，且■是公差为d的等差数列a■中的任意ni项， 若・二p+・，(0?燮r〈in, p、r、in?缀N?鄢)则有等式・■ ) pp+・d成立运用类比的思想，把此等式推广到等比数列中根据此等式的特点，利用类比规律可以得出结论：a・，a・，…，a■是公比为q的等比数列Q■中的任意m项（羽>0）,若・二p+・，（0?燮r〈m, p、r> in?缀 N?鄢），则等式：（aH XaH X ••• XaH ） ■二apXq■成 立3）从某一数学对象所具有的“性质”出发在同一类数学对象所 构成的集合中，如果某一个对象具有某种性质，那么其他数学对象是否也 具有类似的性质呢？通过引导学生对一些已知的数学性质的研究，可以培 养学生的类比思想。

比如：在圆锥曲线中，双曲线具有某种性质，那么同 属于圆锥曲线的椭圆是否也具有这样的性质？例5：真命题：双曲线■-■二1具有如下性质：若直线x=t交双曲线 于P、Q两点，Al、A2为双曲线的顶点，则A1P> A2Q的交点的轨迹是椭圆 ■ +■二1,请运用类比的思想，对椭圆■ +■二1写出类似的性质并证明是否 成立分析：双曲线和椭圆都有顶点，但双曲线有两个，而椭圆有四个，那 么双曲线的顶点到底对应椭圆的哪两个顶点呢？教师可让•学生大胆想象， 同时可以利用几何画板来验证各种情形，总结出类比规律：实轴？圮长轴, 短轴？圮虚轴根据类比规律，可以得出以下结论：若直线x二t交椭圆■ + ■二1于P、Q两点，Al、A2为椭圆长轴上的两顶点，则A1P、A2Q的交点 的轨迹是双曲线・- ■二1类似此例，通过对双曲线性质的研究，得出同属于圆锥曲线的椭圆的 类似性质，这种类比方法属于平行类比在圆锥曲线中，有很多性质都可 以通过平行类比，创造出新命题教师可以充分利用圆锥曲线的性质，对 学生进行类比思想的培养篇幅所限，例略） 二、类比思想运用过程中的儿个注意点(1) 类比不是命题的简单改写在教学过程中，我发现有些同学把 利用类比思想构造新命题的过程，简单地理解为命题的改写，产生不少错 误。

比如例3、例4中，漏了且n>0这个等式成立的先决条件，例5中，把“双曲线的顶点”写成“椭圆的顶点”在开展类比教学过程中，要向学 生强调：类比研究的对象是两类数学对象或同一类数学对象不同个体，它 们之间虽然可能具有相似性，但也分别具有口身的特性，必须区分清楚两 者的不同之处，才能进行合理类比2) 通过类比得到的新命题未必成立类比联想仅仅是构造新命题 的一种方法，但所得命题未必成立要让学生深刻地意识到：对于类比所 得新命题，必须经过证明，才能判断其真假合理类比，大胆联想，严格 求证，才是科学的思想方法3) 论证方法的类比运用在证明利用类比思想所得的新命题时， 有些命题的论证方法可以与原命题的论证方法类比运用比如：例1中， 原命题可以把三角形分割成三个小三角形，利用“等面积”证明，新命题 可以把止四面体分割成四个小四面体，利用“等体积”证明；例3中原命 题可以利用等差数列的通项公式证明，新命题可以利用等比数列的通项公 式证明，还有例4、例5的性质2都是如此这种证明方法的迁移，可以 让学生进一步增强类比意识总Z,要培养学生创新精神，教师就应该重视对学生的类比思想的培 养在口常教学过程中，根据教材的内容，适时地对学生渗透类比的意识。

将一些最为基础的数学概念、公式、性质这些学生比较熟悉的知识作为切入点，这样学生就比较容易理解、接受和掌握上海市川沙中学）。