直角坐标系下二重积分的计算IV.ppt

第2节直角坐标系下的二重积分的计算 第10章 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算例例1. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则若D为Y –型区域则当被积函数均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于说明说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 例例2. 计算其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X–型区域, 则解法解法2. 将D看作Y–型区域, 则例例3. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 例例4. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X – 型域 :先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.例例5. 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y–型区域 , 则例例6. 计算其中D 由所围成.解解: 令(如图所示)显然,例例7. 计算解解:例8. 设且求提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形 :• 若积分区域为则• 若积分区域为则计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项• 画出积分域• 选择坐标系• 确定积分序• 写出积分限域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )。