习题课1.pptx

1.巩固等差数列与等比数列的通项公式.2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简单的求数列通项公式的问题.1.等差数列的通项公式若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).【做一做1】￿已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则an=　　　　　. 答案:2n+22.等比数列的通项公式若数列{an}为等比数列,其首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1=am·qn-m(n,m∈N*).【做一做2】￿已知数列{an}是等比数列,且a2=3,a5=81,则an=　　　　　. 答案:3n-11.由数列的前几项归纳出其通项公式剖析根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征和绝对值特征,并对此进行归纳、化归、联想.2.根据Sn与an的关系求通项公式剖析由Sn与an的关系求an,可用￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿注意验证a1是否包含在当n≥2时an的公式中,若不符合,要单独列出.3.由递推公式求数列的通项公式剖析已知数列的递推公式求通项公式,可把每相邻两项的关系列出来,抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列或等比数列的通项问题.(1)当数列{an}满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求时,可用累加法求数列的通项an.常利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1).(3)作新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.题型一题型二题型三观察归纳法求通项【例1】￿根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:分析观察每一项与其项数的关系规律,据此写出通项公式.解(1)注意各项的分子分别是12,22,32,42,…,分母比分子大1.(2)奇数项为正,偶数项为负,各项分母可看作21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…,各项分子均为1.题型一题型二题型三反思当已知数列的前几项,归纳数列的通项公式时,要仔细观察、分析寻找规律,还要注意2n,2n±1,2n,2n±1,3n,3n±1等的应用,如果所给项是分数,先把它们统一为相同的形式,然后分子、分母分别寻找规律.题型一题型二题型三【变式训练1】￿根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式.题型一题型二题型三利用an与Sn的关系求通项【例2】￿(1)已知数列{an}的前n项和Sn满足log3Sn=n+2,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),解(1)∵log3Sn=n+2,∴Sn=3n+2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+2-3n+1=2·3n+1.又当n=1时,a1=S1=33=27不适合上式,题型一题型二题型三(2)∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1, 反思在求解涉及与Sn有关的式子的数列问题时,通常用an=Sn-Sn-1(n≥2)解答,但要特别注意当n=1时,上式不一定成立.题型一题型二题型三【变式训练2】￿已知数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*,且n≥2),求该数列的通项公式.解∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0,∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1).∴an+1=2an(n≥2).又a1=S1=1,S2=2,∴a1+a2=2,a2=1.∴当n≥2时,an=2n-2,题型一题型二题型三已知递推关系求通项【例3】￿(1)已知数列{an}满足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an;(2)已知数列{an}满足an+1=2nan,且a1=1,求an.解(1)由条件得an-an-1=3(n-1)+2(n≥2),an-1-an-2=3(n-2)+2,……a3-a2=3×2+2,a2-a1=3×1+2.以上各式相加,得an-a1=3[1+2+3+…+(n-1)]+2(n-1)题型一题型二题型三反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情形:(1)an+1-(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项. 题型一题型二题型三(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N*),a1=1,求通项公式an. (2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).又a1+1=2≠0,∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.。