
2023学年高中数学课时跟踪检测十一夹角的计算北师大版选修2_1.doc
9页课时跟踪检测(十一) 夹角的计算一、基本能力达标1.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B.C. D.解析:选A 建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos〈n,〉|==,故选A.2.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( )A.0 B.C.- D.解析:选A 建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),∴=(-2,-2,3),=(-2,2,0).∴cos〈,〉==0.∴〈,〉=90°,其余弦值为0.3.正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1C1,AB的中点,则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为( )A. B.C. D.解析:选A 设棱长为2,建立以A1为原点,A1B1,A1D1,A1A为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,则平面A1ECF的一个法向量为n=(-2,1,1),A1B1的方向向量为(2,0,0),设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ,则sin θ=|cos〈n,〉|==,cos θ=,∴tan θ=.4.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )A.30° B.45°C.60° D.90°解析:选B 建系如图,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).平面PAB的法向量为n1=(1,0,0).设平面PCD的法向量n2=(x,y,z),则得令x=1,则z=1.∴n2=(1,0,1),cos〈n1,n2〉==.∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.∴此角的大小为45°.5.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是________.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,O为BC中点,设三棱柱的棱长为2a,则点A(a,0,0),B(0,a,0),B1(0,a,2a),M(0,-a,a),=(-a,a,2a),=(0,-2a,a),所以·=0,因此异面直线AB1与BM所成的角为90°.答案:90°6.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O 是平面A1B1C1D1的中心,则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.解析:建立空间直角坐标系如图,则B(1,1,0),O,=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.又=,∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为==.答案:7.如图所示,已知在四面体ABCD中,O为BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.解:(1)证明:因为BO=DO,AB=AD,所以AO⊥BD.因为BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,而AC=2,所以AO2+CO2=AC2,所以∠AOC=90°,即AO⊥OC.因为BD∩OC=O,所以AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,-,0),所以cos〈,〉==,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.8.(2023年·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角AMA1N的正弦值.解:(1)证明:如图,连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND,因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA,以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,,-2), =(-1,0,-2),=(0,-,0).设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则所以可取m=(,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则所以可取n=(2,0,-1).于是cos〈m,n〉===,所以二面角AMA1N的正弦值为.二、综合能力提升1.在长方体ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A. B.C. D.解析:选A 建立如图的空间直角坐标系,可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°,设B1C1=1,CC1==DD1.∴C1D1=,则有B1(,0,0),C(,1,),C1(,1,0),D(0,1,).∴=(0,1,),=(-,0,).∴cos〈,〉===.2.如图所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角CBFD的正切值为( )A. B.C. D.解析:选D 如图所示,设AC与BD交于O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=,所以O(0,0,0),B,F,C,=,易知为平面BDF的一个法向量,由=,=,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,,).所以cos〈n,=,sin〈n,=,所以tan〈n,=.3.正方体ABCD A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________.解析:不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量为=(1,1,1),又=(0,0,1),∴cos〈,〉===.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 =.答案:4.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直,则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________.解析:取BC的中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.设BC=1,则A,B,C,D,所以=,=,=.设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则所以取x=1,则y=-,z=1,所以n=(1,-,1),所以cos〈n,==,因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.答案:5.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角BA1DA的正弦值.解:在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,则A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,).(1)=(,-1,-),=(,1,).则cos〈,〉===-.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为=(,0,0).设m=(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又=(,-1,-),=(-,3,0),则即不妨取x=3,则y=,z=2,所以m=(3,,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos〈,m〉===.设二面角BA1DA的大小为θ,则|cos θ|=.因为θ∈[0,π],所以sin θ==.因此二面角BA1DA的正弦值为.6.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角APCD的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.解:如图,以点A为坐标原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,P(0,0,2).(1)证明:易得=(0,1,-2),=(2,0,0),则·=0,所以PC⊥AD.(2)易得=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).由得令z=1,可得n=(1,2,1).又=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos〈,n〉==,从而sin〈,n〉=.所以二面角APCD的正弦值为.(3)易得=(2,-1,0).设AE=h,h∈[0,2],则E(0,0,h),所以=.所以cos〈,〉===,解得h=,即AE=.- 1 -。












