2024届百师联盟(陕西省西安市部分学校)高三上学期开学摸底联考理科数学试卷（全国卷）.doc

2024届百师联盟(陕西省西安市部分学校)高三上学期开学摸底联考理科数学试卷（全国卷）一、单选题 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A．B．C．D． 2. 已知复数 （ 是虚数单位），则 （ ） A．1B．iC．D． 3. 已知 ，则 （ ） A．B．C．D． 4. 函数 （e为自然对数的底数）在 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 5. 已知数列 和 均为等差数列，数列 的前 项和为 ，若 为定值， ， ， ，则 （ ） A．B．C．D． 6. 如图，在棱长为2的正方体 中，点 在对角线 上移动，则三棱锥 的体积为（ ） A．B．8C．D．4 7. 已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ） A．B．C．D． 8. 已知实数 m， n满足 ， ，则下列关系中正确的是（ ） A．B．C．D． 9. 某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（ ） A．B．C．D． 10. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 ，能发出第三个基准音的乐器的长度为 ，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列 用来研究数据的变化，已知 ，则 （ ） A．324B．297C．256D．168 11. 已知随机变量 服从两点分布，且 ，若 ，则下列判断正确的是（ ） A．B．C．D． 12. 已知函数 若关于 的方程 有6个不同的实根，则实数 的取值范围为（ ） A．B．C．D． 二、填空题 13. 已知 为实数， ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 ______ . 14. 已知 的展开式中的常数项为 ______ （用数字作答） 15. 已知双曲线 的一个焦点为 ，点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，则双曲线 的标准方程是 ______ . 16. 已知在三棱锥 中， ， ， 平面 ，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为 ______ . 三、解答题 17. 某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为 ， ，若 为奇数即为中奖. (1)求某顾客甲获奖的概率； (2)求随机变量 的分布列与数学期望 . 18. 如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形，平面 平面 ， ， ， ，点 为 的中点. (1)求证：平面 平面 ； (2)求二面角 的余弦值. 19. 如图， 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 外一点 （ 与 在同一平面内）满足 ， ， . (1)求 ； (2)若 的面积为2，求线段 的长. 20. 已知函数 ， 且 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围. 21. 已知点 为抛物线 的焦点，点 ， ，且 . (1)求抛物线 的标准方程； (2)若斜率存在的直线过点 且交抛物线 于 ， 两点，若直线 ， 交抛物线于 ， 两点（ 、 与 、 不重合），求证：直线 过定点. 22. 在平面直角坐标系 中，射线 的方程为 ，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求射线 和曲线 的极坐标方程； (2)若射线 与曲线 交于点 ，将射线 绕极点按逆时针方向旋转 交 于点 ，求 的面积. 23. 设函数 . (1)当 时，求不等式 的解集； (2)若 ， ， 的最小值为 ，且 ，求证： . 。